1.4.2存在量词A级基础巩固一、选择题1．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7<0成立答案：B2．下列命题中特称命题的个数是()(1)至少有一个偶数是质数；(2)∃x0∈R，log2x0>0；(3)有的实数大于零．A．0B．1C．2D．3解析：(1)中含有存在量词“至少”，所以是特称命题．(2)中含有存在量词符号“∃”，所以是特称命题．(3)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题．答案：D3．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0B．∃x0∈R，－≥0C．∀x∈N*，log2x>0D．∃x0∈R，cosx0>x＋2x0＋3答案：B4．下列特称命题中，假命题是()A．∃x0∈R，x－2x0－3＝0B．至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．∃x0∈{x|x是无理数}，x是有理数解析：垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．答案：C5．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是()A．a＜1B．a≤1C．－1＜a＜1D．－1＜a≤1答案：A二、填空题6．若命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．解析：因为函数y＝ex在[0，1]上为增函数，所以1≤y≤e，若p为真，则a≥(ex)max＝e.答案：[e，＋∞)7．不等式组的解集记为D.有下面四个命题：1p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x0，y0)∈D，x0＋2y0≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x0，y0)∈D，x0＋2y0≤－1.其中真命题是________．答案：p1，p28．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．解析：依题意有：0＜a2－1＜1⇔⇔⇔－＜a＜－1或1＜a＜.答案：(－，－1)∪(1，)三、解答题9．判断下列命题的真假．(1)∀x∈N，x2>0；(2)圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在一点到圆心的距离是r；(3)存在一对实数x0，y0满足2x0＋4y0＝3；(4)方程2x＋4y＝3的所有解都不是整数解．解：(1)假命题：当x＝0时，x2＝0.(2)真命题：由圆的定义知圆上的每一个点到圆心的距离都是r.(3)真命题：满足方程2x＋4y＝3.(4)真命题：当x，y∈Z时，左边是偶数，右边3是奇数，不可能相等．10．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1，1]．B级能力提升1．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：A2．若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为______________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0，解得a＜－1或a＞3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)23
