第二章圆锥曲线与方程综合检测一、选择题1.已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为().A.B.C.D.【解析】依题意椭圆的焦距和短轴长相等,故b=c,∴a2-c2=c2,∴e=.【答案】D2.若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是().A.±B.C.-D.不存在【解析】显然双曲线焦点在x轴上,故9-m2=m2+3,所以m2=3,即m=±.【答案】A3.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为().A.B.C.D.【解析】由题意知e2====,得=,而双曲线的离心率e2===1+=,故e=.【答案】B4.已知直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足为P,Q,则梯形APQB的面积为().A.48B.56C.64D.72【解析】联立方程组解得点A(1,-2),B(9,6). 抛物线准线为x=-1,∴|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8.1故S梯形APQB==48.【答案】A5.设离心率为e的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是().A.k2-e2>1B.k2-e2<1C.e2-k2>1D.e2-k2<1【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率k只需满足-1.【答案】C6.已知点N(3,0),圆(x+2)2+y2=16的圆心为M,设A为圆上任一点,线段AN的垂直平分线交直线MA于点P,则动点P的轨迹是().A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由中垂线的性质可知|AP|=|NP|,因为|AP|=|MP|+|AM|,所以|NP|=|MP|+|AM|,即|NP|-|MP|=|AM|,所以动点P的轨迹是双曲线.【答案】C7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为().A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,因为点(2,)在渐近线上,所以=.又双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线方程x=-2上,所以c=,由此可解得a=2,b=,所以双曲线的方程为-=1,故选D.【答案】D8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于().A.B.C.2D.2【解析】由题意知抛物线的焦点为(,0),即c=.双曲线的渐近线方程为y=±x,即=,得b=a,所以b2=2a2=c2-a2,故c2=3a2,即e2=3,得e=.【答案】B9.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为().A.2B.-2C.D.-【解析】已知直线m与椭圆交于P1,P2两点,从而设点P1(x1,y1),P2(x2,y2),可知点P,即k2=,设直线m:y=k1(x+2),联立椭圆方程得⇒(2+1)x2+8x+8-2=0,可得x1+x2=-,所以y1+y2=k1(x1+x2)+4k1=,则k2=-,即k1k2=-.【答案】D10.如图,某人造卫星的运行轨道是以地球中心F2为一个焦点的椭圆,设近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,地球半径为r千米,且点F2,A,B在同一直线上,则该卫星运行轨道的短半轴长为().(单位:千米)3A.2mnB.2C.mnD.【解析】由图可知⇒b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=(m+r)(n+r),故选D.【答案】D11.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是().A.B.C.D.2【解析】设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.|PF1|=x,|PF2|=y,(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,当点P看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,当点P看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=+3a2,即4c2=+3,所以+3=4.又=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=,即双曲线的离心率为,故选A.【答案】A12.若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同,且a1>a2.给出如下四个结论:①椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点;②>;③-=-;④a1-a2b1+b2,故a1-a2
