【金版学案】2015-2016高中数学第一章导数及其应用章末小结新人教A版选修2-2求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种情况(1)求点P(x0，y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k＝y′|x＝x0.(2)求过点P(x1，y1)的切线方程，此点在切线上不一定是切点，需设出切点(x0，y0)，求出切线斜率k＝y′|x＝x0，利用点斜式方程写出切线方程，再根据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数y＝x3－x，求函数图象(1)在点(1，0)处的切线方程；(2)过点(1，0)的切线方程．解析：(1)函数y＝x3－x的图象在点(1，0)处的切线斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，所以函数的图象在点(1，0)处的切线方程为y＝2x－2.(2)设函数y＝x3－x图象上切点的坐标为P(x0，x－x0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x－1，切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，由于切线经过点(1，0)，所以0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，整理，得2x－3x＋1＝0，即2(x－1)－3(x－1)＝0，所以2(x0－1)(x＋x0＋1)－3(x0＋1)(x0－1)＝0，所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.所以P(1，0)或P，所以切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.求函数f(x)的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)计算函数f(x)的导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)<0，得到函数f(x)的递减区间．提醒：求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．(2014·高考大纲卷)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1，2)是增函数，求a的取值范围．解析：(1)因为函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x，所以f′(x)＝3ax2＋6x＋3.令f′(x)＝0，即3ax2＋6x＋3＝0，则Δ＝36(1－a)。1若a＞1，Δ≤0时，f′(x)≥0，因此f(x)在R上是增函数。当a≤1，Δ＞0时，f′(x)＝0方程有两个根，x1＝，x2＝.当0＜a＜1，x∈或时，f′(x)＞0，故函数f(x)在和都是增函数；在是减函数．当a＜0，x∈或时，f′(x)＜0，故函数f(x)在和都是减增函数；在是增函数．(2)当a＞0，x＞0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＞0，故a＞0时，f(x)在区间(1，2)是增函数．当a＜0时，f(x)在区间(1，2)是增函数，当且仅当f′(x)≥0且f′(2)≥0，解得－≤a＜0，综上，a的取值范围∪(0，＋∞)．(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．(3)运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2014·福建安溪一中、德化一中摸底考)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋mx.(1)当m＝－3时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在定义域内为增函数，求实数m的取值范围．解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x＋m，m＝－3时，f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝1.f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值由上表可知，f(x)极大值＝f＝－ln2－，f(x)极小值＝f(1)＝－2.(2)函数f(x)在定义域内为增函数，所以x＞0时，f′(x)＝＋2x＋m≥0恒成立，可得m≥－(x＞0)恒成立．因为x＞0，所以＋2x≥2(当且仅当x＝时取等号)，所以－＝－2，得m≥－2.∴m的取值范围是[－2，＋∞)1．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤2(1)求f(x)在(a，b)内的极值．(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．2．利用导数求函数的最值时的两个注意点(1)当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得．(2)当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且...
