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九年级数学下册 第二十六章 奥赛园地(课时特训综合测评,pdf) 新人教版试卷VIP免费

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奥赛园地得之在俄倾,积之在平日.———袁守侗【例】(全国初中数学竞赛海南赛区)实数x,y满足2x2-6x+y2=0,设w=x2+y2-8x,则w的最大值是.【分析】由2x2-6x+y2=0,得2x2+y2=6x,知x≥0.又y2=-2x2+6x,w=x2-2x2+6x-8x=-x2-2x=-(x+1)2+1,由此可见,当x≥-1时,w随着x的增大而减小,又因为x≥0>-1,,故当x=0时,w的最大值是0.【解答】0.【说明】解答本题需利用代入法和配方法.解题的难点是通过x的取值范围确定w的最大值.初赛题1.已知抛物线y=x2+bx+c的系数满足2b-c=5,则这条抛物线一定经过点().A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(2,-1)D.(-2,1)2.(全国初中数学竞赛海南赛区)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,记p=2a+b,q=b-a,则下列结论正确的是().(第2题)A.p>q>0B.q>p>0C.p>0>qD.q>0>p3.(全国初中数学联赛江西省初赛试题)设ab≠0,且函数f1(x)=x2+2ax+4b与f2(x)=x2+4ax+2b有相同的最小值u;函数f3(x)=-x2+2bx+4a与f4(x)=-x2+4bx+2a有相同的最大值v,则u+v的值().A.必为正数B.必为负数C.必为0D.符号不能确定4.已知二次函数y=x2+bx+c(c)<0的图象与x轴的交点分别为点A、B,与y轴的交点为点C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.(1)证明:☉P与y轴的另一个交点为定点;(2)如果AB恰好为☉P的直径且S△ABC=2,求b和c的值.复赛题5.(全国初中数学联合竞赛试题)已知二次函数y=x2+bx-c的图象经过两点P(1,a),Q(2,10a).(1)如果a,b,c都是整数,且c<b<8a,求a,b,c的值;(2)设二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于x的方程x2+bx-c=0的两个根都是整数,求△ABC的面积.6.(全国初中数学竞赛海南赛区)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在AC上(点E与点A、C都不重合),点F在斜边AB上(点F与点A、B都不重合).(1)若EF平分Rt△ABC的周长,设AE=x,△AEF的面积为y,写出y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围;(2)试问:是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由.(第6题)奥赛园地1􀆰B2􀆰B提示:由图象,知a<0,c=0,-b2a>1,从而2a+b>0,又(2a+b)-(b-a)=3a<0,即2a+b<b-a.3􀆰C提示:f1(x)=(x+a)2+4b-a2≥4b-a2,f2(x)=(x+2a)2+2b-4a2≥2b-4a2.由4b-a2=u=2b-4a2,得-2b=3a2.①f3(x)=-(x-b)2+4a+b2≤4a+b2,f4(x)=-(x-2b)2+2a+4b2≤2a+4b2.由4a+b2=v=2a+4b2,得2a=3b2.②②-①,得2(a+b)=3(b2-a2),所以a+b=0,③或b-a=23.④若a+b=0,则2(u+v)=(6b-5a2)+(6a+5b2)=(a+b)[6+5(b-a)]=0;若b-a=23,根据②④,得2b-23()=3b2,即(3b-1)2+3=0,矛盾.4􀆰(1)易求得点C的坐标为(0,c),设A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=-b,x1x2=c.设☉P与y轴的另一个交点为D,由于AB、CD是☉P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=OC×OD,则OD=OA×OBOC=|x1x2||c|=|c||c|=1.因为c<0,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).(2)因为AB⊥CD,若AB恰好为☉P的直径,则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为(0,-1),即c=-1.又AB=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(-b)2-4c=b2+4,所以S△ABC=12AB􀅰OC=12b2+4􀅰1=2,解得b=±23.5􀆰点P(1,a),Q(2,10a)在二次函数y=x2+bx-c的图象上,故1+b-c=a,4+2b-c=10a,解得b=9a-3,c=8a-2.(1)由c<b<8a,知8a-2<9a-3,9a-3<8a,{解得1<a<3.又a为整数,所以a=2,b=9a-3=15,c=8a-2=14.(2)设m,n是方程的两个整数根,且m≤n.由根与系数的关系可得m+n=-b=3-9a,mn=-c=2-8a,消去a,得9mn-8(m+n)=-6,两边同时乘以9,得81mn-72(m+n)=-54,分解因式,得(9m-8)(9n-8)=10....

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