奥赛园地得之在俄倾,积之在平日.———袁守侗【例】(全国初中数学竞赛海南赛区)实数x,y满足２x２－６x＋y２＝０,设w＝x２＋y２－８x,则w的最大值是．【分析】由２x２－６x＋y２＝０,得２x２＋y２＝６x,知x≥０．又y２＝－２x２＋６x,w＝x２－２x２＋６x－８x＝－x２－２x＝－(x＋１)２＋１,由此可见,当x≥－１时,w随着x的增大而减小,又因为x≥０＞－１,,故当x＝０时,w的最大值是０．【解答】０．【说明】解答本题需利用代入法和配方法．解题的难点是通过x的取值范围确定w的最大值．初赛题１．已知抛物线y＝x２＋bx＋c的系数满足２b－c＝５,则这条抛物线一定经过点()．A．(－１,－２)B．(－２,－１)C．(２,－１)D．(－２,１)２．(全国初中数学竞赛海南赛区)已知二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的图象如图所示,记p＝２a＋b,q＝b－a,则下列结论正确的是()．(第２题)A．p＞q＞０B．q＞p＞０C．p＞０＞qD．q＞０＞p３．(全国初中数学联赛江西省初赛试题)设ab≠０,且函数f１(x)＝x２＋２ax＋４b与f２(x)＝x２＋４ax＋２b有相同的最小值u;函数f３(x)＝－x２＋２bx＋４a与f４(x)＝－x２＋４bx＋２a有相同的最大值v,则u＋v的值()．A．必为正数B．必为负数C．必为０D．符号不能确定４．已知二次函数y＝x２＋bx＋c(c)＜０的图象与x轴的交点分别为点A、B,与y轴的交点为点C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．(１)证明:☉P与y轴的另一个交点为定点;(２)如果AB恰好为☉P的直径且S△ABC＝２,求b和c的值．复赛题５．(全国初中数学联合竞赛试题)已知二次函数y＝x２＋bx－c的图象经过两点P(１,a),Q(２,１０a)．(１)如果a,b,c都是整数,且c＜b＜８a,求a,b,c的值;(２)设二次函数y＝x２＋bx－c的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C．如果关于x的方程x２＋bx－c＝０的两个根都是整数,求△ABC的面积．６．(全国初中数学竞赛海南赛区)如图,在Rt△ABC中,∠C＝９０°,AC＝３,BC＝４,点E在AC上(点E与点A、C都不重合),点F在斜边AB上(点F与点A、B都不重合)．(１)若EF平分Rt△ABC的周长,设AE＝x,△AEF的面积为y,写出y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围;(２)试问:是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由．(第６题)奥赛园地１B２B提示:由图象,知a＜０,c＝０,－b２a＞１,从而２a＋b＞０,又(２a＋b)－(b－a)＝３a＜０,即２a＋b＜b－a．３C提示:f１(x)＝(x＋a)２＋４b－a２≥４b－a２,f２(x)＝(x＋２a)２＋２b－４a２≥２b－４a２．由４b－a２＝u＝２b－４a２,得－２b＝３a２．①f３(x)＝－(x－b)２＋４a＋b２≤４a＋b２,f４(x)＝－(x－２b)２＋２a＋４b２≤２a＋４b２．由４a＋b２＝v＝２a＋４b２,得２a＝３b２．②②－①,得２(a＋b)＝３(b２－a２),所以a＋b＝０,③或b－a＝２３．④若a＋b＝０,则２(u＋v)＝(６b－５a２)＋(６a＋５b２)＝(a＋b)[６＋５(b－a)]＝０;若b－a＝２３,根据②④,得２b－２３()＝３b２,即(３b－１)２＋３＝０,矛盾．４(１)易求得点C的坐标为(０,c),设A(x１,０),B(x２,０),则x１＋x２＝－b,x１x２＝c．设☉P与y轴的另一个交点为D,由于AB、CD是☉P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB＝OC×OD,则OD＝OA×OBOC＝|x１x２||c|＝|c||c|＝１．因为c＜０,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(０,１)．(２)因为AB⊥CD,若AB恰好为☉P的直径,则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为(０,－１),即c＝－１．又AB＝|x１－x２|＝(x１＋x２)２－４x１x２＝(－b)２－４c＝b２＋４,所以S△ABC＝１２ABOC＝１２b２＋４１＝２,解得b＝±２３．５点P(１,a),Q(２,１０a)在二次函数y＝x２＋bx－c的图象上,故１＋b－c＝a,４＋２b－c＝１０a,解得b＝９a－３,c＝８a－２．(１)由c＜b＜８a,知８a－２＜９a－３,９a－３＜８a,{解得１＜a＜３．又a为整数,所以a＝２,b＝９a－３＝１５,c＝８a－２＝１４．(２)设m,n是方程的两个整数根,且m≤n．由根与系数的关系可得m＋n＝－b＝３－９a,mn＝－c＝２－８a,消去a,得９mn－８(m＋n)＝－６,两边同时乘以９,得８１mn－７２(m＋n)＝－５４,分解因式,得(９m－８)(９n－８)＝１０．...
