1.3二项式定理1自我小测1．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得()A．x4B．(x－1)4C．(x＋1)4D．x52．若n展开式的第4项为含x3的项，则n等于()A．8B．9C．10D．113．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是()A．－297B．－252C．297D．2074．对于二项式n(n∈N*)，有以下四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是()A．①与③B．②与③C．②与④D．①与④5．若n的展开式中的常数项为84，则n＝________.6．已知9的展开式中x3的系数为，则常数a的值为________．7．233除以9的余数是多少？8．已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．9．已知在n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．1参考答案1．解析：原式＝(x－1＋1)4＝x4.答案：A2．解析：Tk＋1＝C·xn－k·k＝C·(－1)k·xn－2k，k∈{0,1,2，…，n}，因为当k＋1＝4时，n－2k＝3，所以n＝9.答案：B3．解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(1＋x)10展开式中含x5的项的系数为C－C＝207.答案：D4．解析：二项式n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．答案：D5．解析：Tr＋1＝3933()22C=Crrnrnrrnnxxx，令3n－＝0知2n＝3r.又C＝84，得n＝9.答案：96．解析：Tr＋1＝Ca9－r·(－1)r·39222rrx，令r－9＝3，得r＝8.依题意，得C(－1)8×2－4·a9－8＝，解得a＝4.答案：47．解：233＝811＝(9－1)11＝C×911－C×910＋C×99－…＋C×9－C，∵除最后一项－1外，其余各项都能被9整除，故余数为9－1＝8.8．解：T5＝C()n－4·24x－8＝204216Cnnx，T3＝C()n－2·22x－4＝10224Cnnx.由题意知，＝，解得n＝10.Tk＋1＝C()10－k·2kx－2k＝2k105210Ckkx，令5－＝0，解得k＝2，∴展开式中的常数项为C×22＝180.9．解：已知二项展开式的通项Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－k·C522nkx(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10.(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6×4C＝.(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．2
