1.4.3含有一个量词的命题的否定A级基础巩固一、选择题1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数解析：全称命题的否定是特称命题，所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．答案：C2．已知命题p：任意的x∈R，x＞sinx，则p的否定形式为()A．綈p：存在x∈R，x＜sinxB．綈p：任意x∈R，x≤sinxC．綈p：存在x∈R，x≤sinxD．綈p：任意x∈R，x＜sinx答案：C3．下列命题的否定为假命题的是()A．∀x∈R，－x2＋x－1＜0B．∀x∈R，|x|＞xC．∀x，y∈Z，2x－5y≠12D．∃x0∈R，sin2x0＋sinx0＋1＝0解析：命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A中的命题为真命题，其余均为假命题．答案：A4．已知命题p：任意的x∈R，2x2＋2x＋＜0；命题q：存在x∈R，sinx－cosx＝，则下列判断正确的是()A．p是真命题B．q是假命题C．綈p是假命题D．綈q是假命题解析：在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故为假命题；在命题q中，当x＝时，命题成立，故为真命题，綈q是假命题．答案：D5．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋1＞0；命题q：∃x∈R，sinx＝1.则下列判断正确的是()A．綈q是假命题B．q假命题C．綈p是假命题D．p是真命题答案：A二、填空题6．已知命题p：∃x∈R，x2－3x＋3≤0，则綈p为________．答案：∀x∈R，x2－3x＋3＞017．已知命题p：∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围为________．解析：p为假，即“∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0”为真，所以Δ＝4a2－4a＜0，所以0＜a＜1.答案：(0，1)8．下列命题的“否定”命题中，是全称命题且为真命题的是________(填序号)．(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.答案：(3)三、解答题9．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1，2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．解：由已知得綈p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则所以解得a≤－3，因为綈p为假，所以a＞－3，即a的取值范围是(－3，＋∞)．10．已知命题p：∀m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥；命题q:∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0.若p或q是真命题，綈q是真命题，求a的取值范围．解：根据p或q是真命题，綈q是真命题，得p是真命题，q是假命题．因为m∈[－1，1]，所以∈[2，3]，因为∀m∈[－1，1]，不等式a2－5a－3≥，所以a2－5a－3≥3，所以a≥6或a≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0，所以Δ＝a2－8＞0，所以a＞2或a＜－2，从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－2≤a≤－1.B级能力提升1．已知命题p：“a＝1”是“∀x＞0，x＋≥2”的充要条件，命题q：∃x0∈R，x2＋x－1＞0.则下列结论中正确的是()A．命题“p∧q”是真命题；B．命题“p∧綈q”是真命题；C．命题“綈p∧q”是真命题；D．命题“綈p∨綈q”是假命题．答案：C2．已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为________．2解析：利用全称命题的否定是特称命题求解．“∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1”的否定是“∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1”．答案：∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤13．已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题．求实数a的取值范围．解：因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x＋ax0＋1＜0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2或a＞2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)3
