高考数学异构异模复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质撬题 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

2018高考数学异构异模复习考案第八章立体几何8.3直线、平面平行的判定与性质撬题理1.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面答案D解析A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．2．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.(1)证明：EF∥B1C；(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值．解(1)证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂面A1DE，B1C⊄面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1，面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.(2)因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为(0.5,0.5,1)．设面A1DE的法向量n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量A1E＝(0.5,0.5,0)，A1D＝(0,1，－1)，由n1⊥A1E，n1⊥A1D得(－1,1,1)为其一组解，所以可取n1＝(－1,1,1)．设面A1B1CD的法向量n2＝(r2，s2，t2)，而该面上向量A1B1＝(1,0,0)，A1D＝(0,1，－1)，由此同理可得n2＝(0,1,1)．所以结合图形知二面角E－A1D－B1的余弦值为＝＝.3．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．解法一(1)证明：如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB.又F是CD的中点，所以DF＝CD.由四边形ABCD是矩形得，AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.以B为原点，分别以BE，BQ，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．因为AB⊥平面BEC，所以BA＝(0,0,2)为平面BEC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．又AE＝(2,0，－2)，AF＝(2,2，－1)，由得取z＝2，得n＝(2，－1,2)．从而cos〈n，BA〉＝＝＝，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.解法二(1)证明：如下图，取AB中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GM∥AE.又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，所以GM∥平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，所以MF∥平面ADE.又因为GM∩MF＝M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF，所以平面GMF∥平面ADE.因为GF⊂平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)同解法一．4．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH；(3)求二面角A－EG－M的余弦值．解(1)点F，G，H的位置如下图所示．(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH.因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OM∥CD，且OM＝CD，HN∥CD，且HN＝CD.所以OM∥HN，OM＝HN.所以MNHO是平行四边形，从而MN∥OH.又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，所以MN∥平面BDH.(3)解法一：连接AC，过M作MP⊥AC于P.在正方体ABCD－EFGH中，AC∥EG，所以MP⊥EG.过P作PK⊥EG于K，连接KM.所以EG⊥平面PKM，从而KM⊥EG.所以∠...