热点探究训练(五)平面解析几何中的高考热点问题1．(2014·全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.[解](1)根据c＝及题设知M，＝，2b2＝3ac.2分将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．故C的离心率为.5分(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①8分由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即10分代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.12分2．已知椭圆C的方程为：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为坐标原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．[解](1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.2分因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.5分(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，则OA·OB＝0，所以tx0＋2y0＝0，解得t＝－.8分又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0b>0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.【导学号：31222334】(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．[解] b＝1，e＝，∴解得a2＝2.3分故椭圆C的方程为＋y2＝1.设M(xM,0)，由于点A(m，n)在椭圆C上，∴－1b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且|AF|＝1.图5(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得MP·MQ＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【导学号：31222335】[解](1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，3分故椭圆C的标准方程为＋＝1.5分(2)由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2.8分设P(xP，yP)，则xP＝－＝－，yP＝kxP＋m＝－＋m＝，即P. M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴MP＝，MQ＝(4－t,4k＋m)，10分∴MP·MQ＝·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立，故即t＝1.∴存在点M(1,0)符合题意.12分6．(2016·全...
