第四讲数学归纳法证明不等式1．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x)n＞1＋nx(x＞－1，x≠0，n为正整数)．了解当n为实数时贝努利不等式也成立．,数学归纳法是重要的数学思想方法，同学们应通过对一些简单问题的分析，掌握这种思想方法．在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换．不要做那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解．注意数学归纳法一般步骤的要求，严格按要求表达．两个步骤一个结论都要认真写好．4．1数学归纳法1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．2．会用数学归纳法证明一些简单问题．3．掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论．1．数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在________时成立，这是递推的基础；第二步是假设在________时命题成立，再证明________时命题也成立，这是递推的依据．实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限．证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识．答案:n＝n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋12．从试验、观察出发，用不完全归纳法作出________，再用数学归纳法进行________，这是探索性问题的证法，数列中经常用到(试值→猜想→证明)．答案:归纳猜想严格证明思考已知数列，…，，….Sn为其前n项和，求S1，S2，S3，S4，推测Sn公式．解析：计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，推测Sn＝(n∈N*)．11．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成()A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)B．6k(k＋1)(2k＋1)C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2D．以上都不对答案:C2．下列四个判断中，正确的是()A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)当n＝1时恒为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)当n＝1时恒为1＋kC．式子＋＋＋…＋(n∈N*)当n＝1时恒为1＋＋D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋答案:C3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，又若P(n)对n＝2成立，则P(n)对所有()A．正整数n成立B．正偶数n成立C．正奇数n成立D．大于1的自然数n成立答案:B4．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*，且n≥2)第一步要证明的式子是____________．答案:2＋f(1)＝2f(2)5．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()A．当n＝1时成立B．当n＝2时成立C．当n＝3时成立D．当n＝4时成立解析：多边形至少有三条边．答案：C6．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋()A.B．πC.πD．2π答案：B7．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1成立时，左2边计算所得项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案：C8．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立答案：C9．已知f(n)＝＋＋…＋，则f(k＋1)等于()A．f(k)＋B．f(k)＋C．f(k)＋＋＋－D．f(k)＋－解析：f(k)＝＋＋…＋，f(k＋1)＝＋＋…＋＋＋＋，∴f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.答案：C10．用数学归纳法证明：对任何正整数n有：＋＋＋＋…＋＝.证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝＝，故左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即＋＋＋＋…＋＝那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有：＋＋＋＋…＋＋＝＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时等式也成立．综合(1)、(2)知，对任何正整数n，等式成立．11．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.B.C.＋D.－解析： f(n)＝＋＋…＋，f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋，∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－.答案：D12．观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为________________________________．3答案:12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)13．古希腊毕达哥拉斯学...
