高中数学第一章不等关系与基本不等式 1.4 不等式的证明（一）训练北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

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1.4不等式的证明（一）一、选择题1.若a，b为不等的正数，则(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1)(k∈N＋)的符号()A.恒正B.恒负C.与k的奇偶性有关D.与a，b大小无关解析(abk＋akb)－ak＋1－bk＋1＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak)∵a>0，b>0，若a>b，则ak>bk，∴(a－b)(bk－ak)<0；若a1，m＝＋，n＝＋，则m与n的关系是()A.mnC.m≤nD.m≥n答案B3.设a、b、c、d、m、n∈(0，＋∞)，P＝＋，Q＝·，则有()A.P≥QB.P≤QC.P>QD.P0，Q>0，∴P≤Q.答案B4.已知a，b，c，d都是正数，且bc>ad，则，，，中最大的是()A.B.C.D.解析－＝<0，∴<，－＝＝>0，－＝＝>0，所以最大的是.答案D5.设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是()A.a<ab＝sin60°·sin61°＝sin61°>sin61°＝b，故ab2”是“a>b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析当a2>b2时，a2－b2>0，即(a＋b)(a－b)>0，当a，b同为正时，有a>b；当a、b同为负时，ab2时，不一定有a>b成立.反之，当a>b时，也不一定有a2>b2，例如1>－2，而12<(－2)2.1答案D二、填空题7.下列四个不等式：①a<05，则－与－的大小关系是__________________.解析因为a>5，只需比较＋与2的大小，两数平方，即比较与a－4的大小，再平方，只需比较a2－8a＋15与a2－8a＋16的大小.答案－<－三、解答题9.已知a，b∈R＋，n∈N＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).证明2(an＋1＋bn＋1)－(a＋b)(an＋bn)＝2an＋1＋2bn＋1－an＋1－abn－ban－bn＋1＝an＋1－abn－ban＋bn＋1＝an(a－b)－bn(a－b)＝(a－b)(an－bn).∵a＞0，b＞0，若a－b＞0，则an－bn＞0，∴(a－b)(an－bn)＞0，若a－b＜0，则an－bn＜0，∴(a－b)(an－bn)＞0，∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1).10.设m∈R，a>b>1，f(x)＝，比较f(a)与f(b)的大小.解f(a)－f(b)＝－＝.∵a>b>1，∴b－a<0，a－1>0，b－1>0，∴<0.当m>0时，<0，f(a)0，f(a)>f(b)；当m＝0时，＝0，f(a)＝f(b).11.设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2).证明由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)＝(－)[()5－()5].当a≥b时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0；当a0.所以a3＋b3≥(a2＋b2).2

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