课时作业16双曲线简单几何性质的应用时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．直线y＝k(x＋)与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则k的不同取值有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由已知可得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，顶点(±2，0)，而直线恒过(－，0)，故有两条与渐近线平行，有两条切线，共4条直线与双曲线有一个交点，故选D.2．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(C)解析：原方程分别可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B、D中的两椭圆看，a>0，b>0，但由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，应排除；从D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，应排除．由A中的双曲线可得a<0，b>0，但由直线可得a>0，b>0，矛盾，应排除．由C中的双曲线可得a>0，b<0，由直线可得a>0，b<0.故选C.3．已知F是双曲线－＝1(a>0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则∠POF的大小不可能是(C)A．15°B．25°C．60°D．165°解析： 两条渐近线y＝±x的倾斜角分别为30°，150°，∴0°≤∠POF<30°或150°<∠POF≤180°，故选C.4．双曲线x2－y2＝1右支上一点P(a，b)到直线l：y＝x的距离d＝，则a＋b＝(B)A．－B.C.或－D．2或－2解析：由题意可知a2－b2＝1成立，且＝，解方程组可得a＋b＝.5．已知A，B，P是双曲线－＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为(D)A.B.C.D.解析：设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，知B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝·＝.因为A，P在双曲线上，所以，两式相减，得＝，所以kPA·kPB＝＝，所以e2＝＝，所以e＝.6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是(C)A．(1，)B．(1，)∪(，＋∞)C．(，＋∞)D．[，＋∞)解析：双曲线的一、三象限渐近线的斜率k＝，1要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，只要满足>2即可，∴>2，∴>2，∴e>.7．已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为(B)A.B.C.D.解析：依题意，令直线PQ斜率为0，此时直线PQ即为x轴，于是有点P(－3,0)，Q(3,0)，M(0,0)，F(5,0)，＝.8．设A1，A2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2<2，则双曲线C的离心率的取值范围为(B)A．(1，)B．(1，)C．(，＋∞)D．(1,2)解析：设M(x，y)，由题意得A1(－a,0)，A2(a,0)，则kMA1＝，kMA2＝，则kMA1·kMA2＝，又因为点M在双曲线上，所以－＝1⇒y2＝b2，代入kMA1·kMA2＝中可得＝<2⇒＝e2－1<2⇒10.设2A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)．又点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.三、解答题12．双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，且经过点(3，－2)．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|.解：(1) 双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ(λ≠0)．又 双曲线经过点(3，－2)，代入方程可得λ＝6，∴所求双曲线的方程为－＝1.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－3)，联立，得x2－18x＋3...
