第8课时数系的扩充与复数的引入(限时：10分钟)1．有下列四个命题：(1)方程2x－5＝0在自然数集N中无解；(2)方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；(3)x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；(4)x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：(1)方程的解为z＝∉N，故(1)正确．(2)方程的解为x1＝∈Q，x2＝－5∈Z⊆Q，故(2)正确．(3)由i2＝－1，知x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解，故(3)正确．(4)x4＝1在复数集C中的解的个数为4，故(4)不正确．答案：C2．若z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有()A．m＝±1B．m＝－1C．m＝1D．m≠1解析：∵z是纯虚数，∴解得∴m＝－1.故选B.答案：B3．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下面结论正确的是()A．A∪B＝CB．∁UA＝BC．A∩(∁UB)＝∅D．B∪(∁UB)＝C解析：由复数的分类可知选项D正确．答案：D4．设z＝(m2－5m－6)＋(m2－2m－3)i(m∈R)，当m＝__________时，z为实数；当m＝__________时，z为纯虚数．解析：z为实数时，由m2－2m－3＝0，得m＝3或m＝－1.z为纯虚数时，由得m＝6.答案：3或－165．若不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．解析：由题意，得即故m＝3，即实数m的值为3.(限时：30分钟)1．下列命题中，真命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i，③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.1A．0B．1C．2D．3解析：解答本题只需根据复数的有关概念判断即可．①由于x，y∈C，则x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，故③是假命题．答案：A2．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，z1＝z2，则θ等于()A．kπ(k∈Z)B．2kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D．2kπ＋(k∈Z)解析：由复数相等的定义，可知∴cosθ＝，sinθ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D.答案：D3．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，M∩P＝{3}，则实数m的值为()A．－1B．－1或4C．6D．6或－1解析：∵M∩P＝{3}，∴(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3.∴∴m＝－1.故选A.答案：A4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠bD．a≤0解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.答案：D5．已知k∈R，方程x2＋(k＋3i)x＋4＋k＝0一定有实数根的充要条件是()A．|k|≥4B．k≥2＋2或k≤2－2C．k＝±3D．k＝－4解析：设方程的实根为x，则x2＋kx＋4＋k＋3xi＝0，∴∴k＝－4.故选D.答案：D6．若纯虚数(m2－3m＋2)i的虚部小于2，则实数m的取值范围是__________．解析：根据题意可知解得0＜m＜3，且m≠1，且m≠2，即实数m的取值范围是(0,1)∪(1,2)∪(2,3)．答案：(0,1)∪(1,2)∪(2,3)7．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i是虚数，则实数m满足__________．解析：因为m2－3m－4＋(m2－5m－6)i是虚数，所以m2－5m－6≠0，所以m≠－1且m≠6.答案：m≠－1且m≠68．复数cos2θ＋2isin2θ的实部与虚部的和等于__________．2解析：复数cos2θ＋2isin2θ的实部和虚部分别为cos2θ和2sin2θ，故cos2θ＋2sin2θ＝1－2sin2θ＋2sin2θ＝1.答案：19．设复数z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i.(1)当实数m为何值时，z是纯虚数？(2)当实数m为何值时，z是实数？解析：(1)因为复数z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i是纯虚数，所以解得m＝1±，所以当m＝1±时，z是纯虚数．(2)因为复数z＝lg(m2－2m－3)＋(m2＋3m＋2)i是实数，所以解得m＝－2，所以当m＝－2时，z是实数．10．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数(其中i是虚数单位)，且θ∈[0,2π)，求θ的值．解析：因为sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，所以所以即又θ∈[0,2π)，所以θ＝.11．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，求这个实数根以及实数k的值．解析：设关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0的实数根为x＝x0，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，由复数相等的条件得解得或所以方程的实数根为x＝或x＝－，相应的k的值为k＝－2或k＝2.3
