小题考法专训（二）三角恒等变换与解三角形A级——保分小题落实练一、选择题1．(2019·昆明诊断)在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P，则sin＝()A.B．－C.D．－解析：选A由题意，得sinα＝，cosα＝－，所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝.故选A.2．已知cos2α＋3cosα＝1，则cosα＝()A.B．－C.D．－解析：选C由题意，得2cos2α＋3cosα－2＝0，所以(cosα＋2)(2cosα－1)＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)，故选C.3．已知sin＝，且θ∈，则cos＝()A．0B．C．1D．解析：选C由sin＝，且θ∈，得θ＝，所以cos＝cos0＝1，故选C.4．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝()A．－3B．3C．－D．解析：选A cos＝2cos(π－α)，∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2，∴tan＝＝－3，故选A.5．已知f(x)＝tanx＋，则f的值为()A．2B．C．2D．4解析：选D因为f(x)＝tanx＋＝＋＝＝，所以f＝＝4，故选D.6．已知α∈，若sin2α＝，则cosα＝()A．－B．C．－D．解析：选D因为sin2α＝2sinαcosα＝，sin2α＋cos2α＝1，所以25cos4α－25cos2α＋4＝0，解得cos2α＝或cos2α＝(舍去)，故cosα＝.7．若角α满足＝5，则＝()A.B．C．5或D．5解析：选D因为tan＝＝＝，所以＝5.故选D.8．(2020届高三·湘东六校联考)若△ABC的三个内角满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：选C由题意，利用正弦定理可得6a＝4b＝3c，则可设a＝2k，b＝3k，c＝4k，k＞0，则cosC＝＜0，所以C是钝角，所以△ABC是钝角三角形．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝()A.B．C.D．解析：选B因为△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sinA＝sin＝cosB，因为a＝b，所以由正弦定理得sinA＝sinB，所以cosB＝sinB，所以tanB＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝，故选B.10．(2019·济南模拟)在△ABC中，AC＝，BC＝，cosA＝，则△ABC的面积为()A.B．5C．10D．解析：选A由AC＝，BC＝，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcosA，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sinA＝＝，故S△ABC＝×5××＝.故选A.11．若α，β都是锐角，且sinα＝，sin(α－β)＝，则sinβ＝()A.B．C.D．解析：选B因为sinα＝，α为锐角，所以cosα＝.因为0＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－β＜.又因为sin(α－β)＝＞0，所以0＜α－β＜，所以cos(α－β)＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为()A．10B．12C．8＋D．8＋2解析：选B因为△ABC的面积为4，所以acsinB＝4.因为2bcosA＋a＝2c，所以由正弦定理得2sinBcosA＋sinA＝2sinC，又A＋B＋C＝π，所以2sinBcosA＋sinA＝2sinAcosB＋2cosAsinB，所以sinA＝2sinAcosB，因为sinA≠0，所以cosB＝，因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为等边三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.二、填空题13．(2019·安徽五校联考)若α是锐角，且cos＝，则cos＝________.解析：因为0＜α＜，所以＜α＋＜，又cos＝，所以sin＝，则cos＝sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.答案：14．△ABC中，已知AC＝2，BC＝，∠BAC＝60°，则AB＝________.解析：在△ABC中，由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，得AB2－2AB－3＝0，又AB＞0，所以AB＝3.答案：315．在△ABC中，已知AC＝6，BC＝8，cos(∠A－∠B)＝，则sin(∠B－∠C)＝________.解析：如图，作∠BAD＝∠B，则AD＝DB，cos∠DAC＝cos(∠A－∠B)＝，设AD＝DB＝x，则DC＝8－x，在△ADC中，由余弦定理可得(8－x)2＝x2＋62－2×6×x×，解得x＝4，所以AD＝BD＝DC＝4，所以∠BAC＝90°，所以sin∠B＝，所以sin(∠B－∠C)＝sin(2∠B－90°)＝－cos2∠B＝2sin2∠B－1＝.答案：16．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsinB＝2sinC，则△ABC的面积为________．解析：因为a2＋b2－c2＝ab，所以由余弦定理得cosC＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因...
