第2课时用数学归纳法证明不等式A．基础巩固1．(2017年驻马店月考)某个命题和正整数n有关，如果当n＝k(k为正整数)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时，命题也成立．现已知当n＝7时命题不成立，那么可以推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝8时该命题不成立D．当n＝8时该命题成立【答案】A【解析】假设n＝6时命题成立，则可推得n＝7时命题成立．现n＝7时命题不成立，故n＝6时命题不成立．故选A．2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，不等式在n＝k＋1时的形式是()A．1＋＋＋…＋＜k＋1B．1＋＋＋…＋＋＜k＋1C．1＋＋＋…＋＋＋＜k＋1D．1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＋＜k＋1【答案】D【解析】因为不等式左边的分母是逐1增加的．3．(2017年菏泽期中)在用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥(n≥2)的过程中，当由n＝k推到n＝k＋1时，不等式左边应()A．增加了B．增加了＋C．增加了＋，但减少了D．以上都不对【答案】C【解析】当n＝k时，左侧式子为＋＋＋…＋，当n＝k＋1时，左侧式子为＋＋…＋＋＋，∴当由n＝k推到n＝k＋1时，不等式左边减少了，增加了＋.故选C．4．若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，正整数a的最大值是()A．24B．25C．26D．27【答案】B【解析】取n＝1，＋＋＝，令＞，得a＜26，故答案为B．5.(2018年柳州期末)用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取n＝.【答案】8【解析】由等比数列前n项和公式得1＋＋＋…＋＝>，∴<，∴n>7.又n∈N*，∴n＝8.6．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞－，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标是______________________________．【答案】＋＋＋…＋＋>－7．(2017年浙江节选)已知数列{xn}满足x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．证明：当n∈N*时，0＜xn＋1＜xn.【证明】当n＝1时，x1＝1>0.假设n＝k时，xk>0，那么n＝k＋1时，若xk＋1≤0，则xk＝xk＋1＋ln(1＋xk＋1)≤0，矛盾，故xk＋1＞0.因此xn＞0(n∈N*)．所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)＞xn＋1，1因此0＜xn＋1＜xn(n∈N*)．B．能力提升8.(2018年贵阳校级月考)设f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N*.(1)当n＝1,2,3,4时，比较f(n)与g(n)的大小；(2)根据(1)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.【解析】(1)f(1)g(3)，f(4)>g(4).(2)猜想：当n≥3，n∈N*时，有nn＋1>(n＋1)n.证明：①当n＝3时，猜想成立.②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时猜想成立，即kk＋1>(k＋1)k，>1.∵(k＋1)2>k(k＋2)，即>k，∴＝k·>k·k＝>1.∴(k＋1)k＋2>(k＋2)k＋1，即(k＋1)(k＋1)＋1>[(k＋1)＋1]k＋1，∴当n＝k＋1时，猜想也成立.由①②知，对一切n≥3，n∈N*时，nn＋1>(n＋1)n都成立.2
