课时分层作业(十三)抛物线的简单几何性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．方程y＝－2所表示曲线的形状是()D[方程y＝－2等价于故选D．]2．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．16B．12C．10D．8B[由题意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12．]3．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在B[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，可设直线方程为y＝k(x－1)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴Δ＝(2k2＋4)2－4k4＝16k2＋16>0，x1＋x2＝＝5，∴k2＝，即k＝±．因而这样的直线有且仅有两条．]4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2B[易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1．]5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16B[设P(x0，y0)，则A(－2，y0)，又F(2,0)，所以＝－，即y0＝4．由y＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6．从而|PF|＝6＋2＝8．]二、填空题6．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．2[由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，∴xA＝＝3，∴所求距离为3－1＝2．]7．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为2，则|AB|＝______．6[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的准线方程为x＝－1，焦点为F(1,0)，则根据抛物线的定义可知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝2xM＋2＝2×2＋2＝6．]8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0．由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，即直线方程为x－y＋1＝0，直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝．即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为．]三、解答题9．已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．(1)求证：l与C必有两交点；(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．[解](1)证明：联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1①，因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋＝1②，由(1)可得x1＋x2＝k，x1x2＝－，代入②得k＝1．10．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，O为坐标原点，直线AB(不垂直于x轴)过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p．(1)求抛物线C的方程；(2)若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：>2．[解](1)因为直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB(不垂直x轴)的方程可设为y＝k(k≠0)，所以y＝2px1，y＝2px2，(p>0)，因为直线OA与OB的斜率之积为－p，所以＝－p，所以2＝p2，得x1x2＝4，由得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，其中Δ＝(k2p＋2p)2－k2p2k2>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，所以p＝4，抛物线C的方程为：y2＝8x．(2)证明：设M(x0，y0)，D(x3，y3)，因为M为线段AB的中点，所以x0＝(x1＋x2)＝＝，y0＝k(x0－2)＝，所以直线OD的斜率kOD＝＝，直线OD的方程为y＝kODx＝x，代入抛物线C：y2＝8x的方程，得x3＝，所以＝k2＋2，因为k2>0，所以＝＝k2＋2>2．1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝()A．B．C．D．C[因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－...
