课时分层作业(十一)双曲线的简单几何性质(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1B[由题意，得解得a＝2，b＝2．易知双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1．]2．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1C[ e＝＝，右焦点F2(5,0)，∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为－＝1．]3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于()A．2B．2C．4D．4C[由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C．]4．若实数k满足00,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝．可知两曲线的焦距相等，故选D．]5．已知双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围是()A．(－12,0)B．(－∞，0)C．(－3,0)D．(－60，－12)A[因为双曲线＋＝1的实半轴长a＝2，虚半轴长为，c＝为半焦距，所以离心率e＝．又因为e∈(1,2)，所以1<<2，解得－120，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线方程为________．－y2＝1[由题意可得解得故所求双曲线方程为－y2＝1．]7．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________．(1，)[e2＝1＋，由a>1得10)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．2[双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则A(2,2b)，B(2，－2b)，|AB|＝4b，从而S△AOB＝×4b×2＝8．解得b＝2，所以c2＝5，从而焦距为2．]三、解答题9．已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．[解]椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5．设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25． 圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3，∴＝3⇒a＝3，b＝4．∴双曲线G的方程为－＝1．10．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA·OB>2，其中O为原点，求k的取值范围．[解](1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2．又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1．(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由直线l与双曲线交于不同的两点得：即k2≠且k2<1．①设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由OA·OB>2得xAxB＋yAyB>2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋＋2＝，于是>2，解此不等式得0，b>0)，由题意得c＝2，即a2＋b2＝4，渐近线方程为y＝±x，可得a＝b，解得a＝，b＝1，所以双曲线的方程为－x2＝1．]3．...
