【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章概率2.5.2离散型随机变量的方差与标准差学业分层测评苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知随机变量ξ满足V(ξ)＝，则ξ的标准差为________．【解析】＝＝.【答案】2．设随机变量ξ可能取值为0,1，且满足P(ξ＝1)＝，P(ξ＝0)＝，则V(ξ)＝________.【解析】由题意可知，随机变量ξ服从两点分布，故V(ξ)＝×＝.【答案】3．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则V(ξ)＝________.【导学号：29440059】【解析】设P(ξ＝1)＝x，P(ξ＝2)＝y，则⇒所以V(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)×＋(2－1)2×＝.【答案】4．若ξ～B，且η＝2ξ＋3，则V(ξ)＝________，V(η)＝________.【解析】 ξ～B，∴V(ξ)＝4××＝.V(η)＝V(2ξ＋3)＝4V(ξ)＝.【答案】5．(2016·四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．【解析】法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝2＝.所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.法二：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝np＝2×＝.【答案】6．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝，则V(ξ)＝________.【导学号：29440060】【解析】由题意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝③，以上三式联立解得a＝，b＝，c＝，故V(ξ)＝.【答案】7．(2016·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．1【解析】成功次数ξ～B(100，p)，∴V(ξ)＝100p(1－p)≤100×2＝25.当且仅当p＝1－p，即p＝时，取得最大值＝5.【答案】58．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.由题知X～B(25,0.6)，所以E(X)＝25×0.6＝15，V(X)＝25×0.6×0.4＝6，E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，V(Y)＝V(4X)＝42×V(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.【答案】60,96二、解答题9．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，设ξ表示取出次品的个数．(1)若取后不放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)；(2)若取后再放回，求ξ的均值E(ξ)和方差V(ξ)．【解】(1)由题意，得ξ～H(3,2,15)，E(ξ)＝＝＝，V(ξ)＝＝＝.(2)由题意ξ～B，E(ξ)＝np＝3×＝，V(ξ)＝np(1－p)＝3××＝.10．(2016·淮安高二检测)一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．【解】(1)“有放回摸球”可看作独立重复试验，因为每摸出一球得白球的概率为p＝＝.所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为C··＝.(2)设摸得白球的个数为ξ，依题意得：P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝×＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，V(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.能力提升]1．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝m)＝，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，则V(ξ)的最小值等于________．【解析】由分布列中，概率和为1，则a＋＝1，a＝. E(ξ)＝2，∴＋＝2，∴m＝6－2n.∴V(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝×(n－2)2＋×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.2∴n＝2时，V(ξ)取最小值0.【答案】02．有同寝室的四位同学分别每人写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，则X的方差是________．【解析】由条件，得X的概率分布列为：X0124PE(X)＝0×＋1×＋2×...
