2.4.1抛物线的标准方程[A基础达标]1．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝－8yB．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8xD．x2＝－8y解析：选A．因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－解析：选C．因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点为F(2，0)，所以kAF＝＝－.3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A．由题意知抛物线的准线方程为x＝－.因为|AF|＝x0，所以根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A．B．C．2D．－1解析：选D．由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.5．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()解析：选D．a2x2＋b2y2＝1其标准方程为＋＝1，因为a>b>0，所以<，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－，由题意知3＋＝4，所以p＝2.答案：27．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6.1所以所求点的坐标为(－6，6)，(－6，－6)．答案：(－6，6)，(－6，－6)8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：因为|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，所以xA＋xB＝.所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.答案：9．根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)焦点到准线的距离是5；(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.解：(1)由题意知p＝5，则2p＝10，因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故方程为y2＝10x或y2＝－10x或x2＝10y或x2＝－10y.(2)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由|AF|＝3，得＋2＝3，所以p＝2，所以抛物线的标准方程为x2＝－4y.10．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－，则MN的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以N.[B能力提升]11．若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线2解析：选D．法一：设动点P的坐标为(x，y)．则＝.整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，所以x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线．法二：显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．12．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，所以B点坐标为.又点B在双曲...
