2007年各地模拟题精选解析之函数与导数1．（西安地区八校联考）设函数.（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式|f′（x）|≤a恒成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）（1分）令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）（4分）∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极小值=b.（6分）（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分） 0
2a.∴上是减函数.（9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴（12分）2．山西省太原市（本小题满分12分）如果在某个区间I内满足：对任意的，则称在I上为下凸函数；已知函数（Ⅰ）证明：当时，在上为下凸函数；（Ⅱ）若为的导函数，且时，求实数a的取值范围.解（Ⅰ）任取则…………………………………………………………2分…………………………………………3分又…………………………………………4分又………………………………………………5分即.…………………………………………6分上的下凸函数.（Ⅱ），…………………………………………………………8分………………………………………………10分恒成立.………………………………………………………………12分3．山西省太原市（本上题满分12分）设，函数为自然对数的底数）.（Ⅰ）判断的单调性；（Ⅱ）若上恒成立，求a的取值范围.解（Ⅰ）由已知…………………………………………2分令①当在R上为减函数.②当在R上为减函数.…………………………4分③当时，由得由得上为增函数；上为减函数.…………………………6分（Ⅱ）①当上为减函数.……………………10分②当在[1，2]上不恒成立，∴a的取值范围是………………………………………………12分4．山东省滋博市（本小题满分12分）设是函数的两个极值点，且（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：.解证：（I）易得…………………………………………1分的两个极值点的两个实根，又a＞0……………………………………………………3分∴ ……………………………………………………7分（Ⅱ）设则由上单调递增………………10分………………………………………………12分5．山东省济宁市（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）若，求的极大值；（Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.解：（Ⅰ）定义域为……………………………………………………………2分令由由…………………………………………………………4分即上单调递增，在上单调递减时，F(x)取得极大值……………………6分（Ⅱ）的定义域为(0+∞)由G(x)在定义域内单调递减知：在(0+∞)内恒成立………8分令，则由 当时为增函数当时为减函数……………………………………10分∴当x=e时，H(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x=e使得不影响其单调性………………………………………………………………………………12分6．（江西省师大附中）已知A、B、C是直线l上的三点，向量OA，OB，OC满足：OA－[y＋2f/(1)]OB＋ln(x＋1)OC＝0.（1）求函数y＝f(x)的表达式；（2）若x＞0，证明：f(x)＞；（3）若不等式x2≤f(x2)＋m2－2bm－3时，x∈[－1，1]及b∈[－1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．解：(1) OA－[y＋2f/(1)]OB＋ln(x＋1)OC＝0，∴OA＝[y＋2f/(1)]OB－ln(x＋1)OC由于A、B、C三点共线即[y＋2f/(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f/(1)f/(x)＝，得f/(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)…………………………………4分（2）令g(x)＝f(x)－，由g/(x)＝－＝ x＞0，∴g/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数………………6分故g(x)＞g(0)＝0即f(x)＞………………………………………………………………8分（3）原不等式等价于x2－f(x2)≤m2－2bm－3令h(x)＝x2－f(x2)＝x2－ln(1＋x2)，由h/(x)＝x－＝……………10分当x∈[－1，1]时，h(x)max＝0，∴m2－2bm－3≥0令Q(b)＝m2－2bm－3，则得m≥3或m≤－3……………12分7．济南市(本小题满分12分)已知函数．与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线．(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设，其中，求F(x)的单调区间．解：(1) 过点∴a...
