第2章函数、导数及其应用第12节定积分与微积分基本定理1.（2014山东，5分）直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2B．4C．2D．4解析：由4x＝x3，解得x＝0或x＝2或x＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为＝＝4.答案：D2.（2014湖南，5分）已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且∫0f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝解析：由定积分sin(x－φ)dx＝－cos(x－φ)＝cosφ－sinφ＋cosφ＝0，得tanφ＝，所以φ＝＋kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin(k∈Z)，由正弦函数的性质知y＝sin与y＝sin的图象的对称轴相同，令x－＝kπ＋，则x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0，得x＝，选A.答案：A3.（2014陕西，5分）定积分(2x＋ex)dx的值为()A．e＋2B．e＋1C．eD．e－1解析：(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选C.答案：C4.（2014江西，5分）若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A．－1B．－C.D．1解析： f(x)＝x2＋2f(x)dx，∴f(x)dx＝＝＋2f(x)dx.∴f(x)dx＝－.答案：B5.（2014湖北，5分）若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是()A．0B．1C．2D．3解析：对于①，1sinxcosxdx＝sinxdx＝0，所以①是一组正交函数；对于②，(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，x·x2dx＝x3dx＝0，所以③是一组正交函数．选C.答案：C6.（2014福建，5分）如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y＝ex与函数y＝lnx互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，又因为函数y＝ex与直线y＝e的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e×1－exdx)＝2e－2ex＝2e－(2e－2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝＝.答案：7.（2014辽宁，5分）正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P＝＝＝＝.答案：8．（2013北京，5分）直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.B．2C.D.解析：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义、微积分基本定理等基础知识，考查数形结合思想以及考生的运算求解能力．由题意知抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l的方程为y＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2dx＝2＝.答案：C9．（2013江西，5分）若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1
