课时提升作业(五)充要条件的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设α,β∈,那么“α<β”是“tanα
=1,=0,所以a与b同向.而a∥b包括同向与反向两种情况.3.设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】利用不等式的性质验证充分性与必要性.【解析】选D.当ab<0时,由a>b不一定推出a2>b2,反之也不一定成立.4.(2015·湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选A.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.15.(2015·烟台高二检测)已知a,b∈R,ab≠0,则“a>0,b>0”是“≥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.当a>0,b>0时由基本不等式可得≥.当且仅当a=b时取等号.反之,当≥时,由有意义结合a,b≠0,可得a,b同号,即a>0,b>0或a<0,b<0,而当a<0,b<0时<0与≥矛盾.故必有a>0,b>0成立,故“a>0,b>0”是“≥”的充要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·郑州高二检测)等差数列{an}的首项为a,公差为d,其前n项和为Sn,则数列{Sn}为递增数列的充要条件是.【解题指南】若{Sn}为递增数列,则Sn+1>Sn(n∈N*),据此转化求解.【解析】由Sn+1>Sn(n∈N*)⇔(n+1)a+d>na+d(n∈N*)⇔dn+a>0(n∈N*)⇔d≥0且d+a>0.因此数列{Sn}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a>0.答案:d≥0且d+a>07.(2015·三明高二检测)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是.【解析】直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切⇔圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于⇔=|m+2|=2m=-4⇔⇔或0.答案:m=-4或0【补偿训练】“x2-2x>0”的充要条件是.【解析】x2-2x>0⇔x·(x-2)>0⇔x>2或x<0.答案:x>2或x<08.下列命题:①“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件;②“b2-4ac<0”是“不等式ax2+bx+c<0解集为R”的充要条件;2③“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件;④“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.其中真命题的序号为.【解析】①x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,如x=0,y=6,所以“x>2且y>3”是“x+y>5”的充分不必要条件;②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0.故②为假命题;③当a=2时,两直线平行,反之,两直线平行,=,所以a=2,因此,“a=2”是“两直线平行”的充要条件;④lgx+lgy=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0.所以“lgx+lgy=0”成立,xy=1必成立,反之不然.因此“xy=1”是“lgx+lgy=0”的必要而不充分条件.综上可知,真命题是④.答案:④三、解答题(每小题10分,共20分)9.求方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件.【解析】方程3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根等价于解得0
