1.3.1二项式定理,[A基础达标]1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于()A．9B．10C．11D．8解析：选B.因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选B.2．(x2＋)5展开式中的常数项为()A．80B．－80C．40D．－40解析：选C.Tk＋1＝C(x2)5－k()k＝C2kx10－5k，令10－5k＝0得k＝2.所以常数项为T3＝C22＝40.3．在(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A．3B．5C．8D．10解析：选B.Tk＋1＝C(2x3)n－k＝2n－kCx3n－5k，令3n－5k＝0，则n＝k，又n∈N*，k∈N，所以n的最小值为5.4．(2018·浙江宁波北仑中学高二下学期期中)二项式的展开式中的有理项共有()A．4项B．5项C．6项D．7项解析：选C.二项式的展开式中，通项公式为Tr＋1＝C·2r·x20－.令20－为整数，可得r＝0，2，4，6，8，10，共6项．故选C.5．二项式的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为()A.B．3C．3或D．3或－解析：选A.因为Tr＋1＝C(ax)6－r＝Ca6－rx6－r，因为展开式的第二项的系数为－，所以Ca5＝－，所以a＝－1，因为x2dx＝x2dx＝x3＝－＝，所以选A.6．在的展开式中，中间项是________．解析：由n＝6知，中间项是第4项，T4＝C(2x2)3·＝C(－1)3·23·x3＝－160x3.答案：－160x37．(2016·高考山东卷)若(ax2＋)5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．解析：(ax2＋)5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·()r＝Ca5－rx10－，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.答案：－28．(1＋x)2·(1－x)5的展开式中含x3的项是________．解析：法一：(1＋x)2·(1－x)5＝(1－x2)2(1－x)3＝(1－2x2＋x4)·(1－3x＋3x2－x3)，所以x31的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5.故含x3的项为5x3.法二：因为(1＋x)2的通项：Tr＋1＝C·xr，(1－x)5的通项：Tk＋1＝(－1)k·C·xk，所以(1＋x)2·(1－x)5的通项：(－1)k·C·C·xk＋r(其中r∈{0，1，2}，k∈{0，1，2，3，4，5})．令k＋r＝3，则有或或所以x3的系数为－C＋C·C－C＝5，故含x3的项为5x3.答案：5x39．已知(3－)10，求：(1)展开式第四项的二项式系数；(2)展开式中第四项的系数；(3)第四项．解：(3－)10的展开式的通项是：Tk＋1＝C(3)10－k(－)k＝(－)k·C·310－k·x5－k.(1)展开式第四项的二项式系数为当k＝3时，C＝120.(2)展开式中第四项的系数为(－)3·C·37＝－77760.(3)展开式中的第四项为：T4＝(－)3·C·37·x5－×3＝－77760.10．设(x－)n的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．解：(x－)n的展开式中第二项与第四项分别为：T2＝C·xn－1·(－)＝－nxn－1，T4＝C·xn－3·(－)3＝－2Cxn－3.根据题意得到＝，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(没有意义，舍去)．设(x－)4的展开式中含x2的项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝C·x4－r·(－)r(r＝0，1，2，3，4)，根据题意有4－r＝2，解得r＝2，所以(x－)4的展开式中含x2的项为T3＝C·x2·(－)2＝12x2.[B能力提升]11．(2018·沈阳高二检测)若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12解析：选B.x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.12．(2018·合肥高二检测)已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值为()A．64B．32C．63D．31解析：选B.C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，所以n＝6，所以C＋C＋C＝32.213．已知在(x2－)n的展开式中，第9项为常数项．求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)n－k·(－)k＝(－1)k()n－kCx2n－k.(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－k＝0，即2n－20＝0，解得n＝10.(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，所以x5的系数为(－1)6()4C＝.(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．14．(选做题)求的展开式中整理后的常数项．解：法一：(＋＋)5在x>0时可化为(＋)10，因而通项Tr＋1＝C()10－r()10－2r，则r＝5时为常数项，即C·()5＝.法二：(化三项式为二项式)原式＝()5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5.所以所求的常数项为＝.3
