第20练平面向量中的线性问题[题型分析·高考展望]平面向量是初等数学的重要内容，兼具代数和几何的“双重特性”，是解决代数问题和几何问题的有力工具，与很多知识联系较为密切，是高考命题的热点.多与其他知识联合命题，题型有选择题、填空题、解答题，掌握好向量的基本概念、基本运算性质是解题的关键.常考题型精析题型一平面向量的线性运算及应用例1(1)(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A.AD＝－AB＋ACB.AD＝AB－ACC.AD＝AB＋ACD.AD＝AB－AC(2)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示向量AO.点评平面向量的线性运算应注意三点：(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A、B、C三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1(1)(2015·杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD＝λAB＋kAC，则λ＋k等于()A.1＋B.2－C.2D.＋2(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________.题型二平面向量的坐标运算例2(1)(2015·江苏)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为_______________________________________________________________.(2)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，请解答下列问题：①求满足a＝mb＋nc的实数m，n；②若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；③若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d.点评(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.变式训练2(1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________.(2)已知向量OA＝(3，－4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________.高考题型精练1.(2015·四川)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x等于()A.2B.3C.4D.62.(2015·安徽)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.(4a＋b)⊥BC3.(2015·长春调研)已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为()A.1B.C.D.4.(2014·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC等于()A.BCB.ADC.ADD.BC5.(2015·潍坊模拟)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，则“a＝(4,2)”是“a∥b”成立的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN(m，n>0)，则＋的最小值为()A.2B.4C.D.97.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.8.已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为______.9.(2014·北京)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.10.(2014·陕西)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝________.11.(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝________.12.(2015·常州模拟)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝t1OA＋t2AB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实...
