2.3.2抛物线的简单几何性质课后训练案巩固提升一、A组1.若点P在抛物线x2=-12y上,且P到抛物线的准线的距离为d,则d的取值范围是()A.[6,+∞)B.[3,+∞)C.(6,+∞)D.(3,+∞)解析:由已知得2p=12,所以p2=3,因此d的取值范围是[3,+∞).答案:B2.(2016陕西咸阳高二月考)已知抛物线x2=-4y的通径为AB,O为坐标原点,则()A.通径AB长为8,△AOB的面积为4B.通径AB长为8,△AOB的面积为2C.通径AB长为4,△AOB的面积为4D.通径AB长为4,△AOB的面积为2解析:抛物线的通径为过焦点且垂直于对称轴的弦,长为2p,故|AB|=4,S△AOB=12×1×4=2.答案:D3.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为√3,则抛物线的焦点坐标为()A.(2,0)B.(1,0)C.(8,0)D.(4,0)解析:因为ca=2,所以c2a2=a2+b2a2=4,于是b2=3a2,则ba=√3,故双曲线的两条渐近线方程为y=±√3x,而抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,所以A(-p2,√3p2),B(-p2,-√3p2),则|AB|=√3p,又△AOB的高为p2,则S△AOB=12×p2×√3p=√3,即p2=4.因为p>0,所以p=2,故抛物线焦点坐标为(1,0).答案:B4.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k=()A.2或-2B.1或-1C.2D.3解析:由{y2=8x,y=kx-2,得k2x2-4(k+2)x+4=0.又由Δ=42(k+2)2-16k2>0,得k>-1.则由4(k+2)k2=4,得k=2或k=-1(舍去).故选C.答案:C5.(2016曲阜师大附中)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2√3,则抛物线的方程为()A.y2=3x或y2=-3xB.y2=-3xC.y2=6xD.y2=6x或y2=-6x解析:设所求抛物线的方程为y2=2mx(m≠0),设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|y1|+|y2|=2√3,即y1-y2=2√3,由对称性知y2=-y1,∴y1=√3.1将y1=√3代入x2+y2=4,得x=±1,将点(1,√3),(-1,√3)分别代入方程y2=2mx中,得3=2m或3=-2m,解得m=32或m=-32.故所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.答案:A6.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C准线上的一点,则△ABP的面积为.解析:不妨设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由于l垂直于对称轴且过焦点,故直线l的方程为x=p2,则|AB|=2p=12,故p=6.所以抛物线的准线方程为x=-3,故S△ABP=12×6×12=36.答案:367.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是.解析:设直线l方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线l与抛物线有一个交点;当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1,且k≠0.所以-1≤k≤1.答案:-1≤k≤18.已知点A(2,0),B(4,0),点P在抛物线y2=-4x上运动,则⃗AP·⃗BP取最小值时点P的坐标为.解析:设点P(x0,y0),则y02=-4x0(x0≤0),∴⃗AP·⃗BP=(x0-2,y0)·(x0-4,y0)=x02-6x0+8+y02=x02-10x0+8=(x0-5)2-17. x0∈(-∞,0],∴当x0=0时,⃗AP·⃗BP取得最小值,此时点P的坐标为(0,0).答案:(0,0)9.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解:由{y=kx+1,y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)当k=0时,方程变为-4x+1=0,x=14,此时y=1.所以直线l与C只有一个公共点(14,1),此时直线l平行于x轴.当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程,且Δ=(2k-4)2-4k2×1=16-16k,①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时l与C相交;②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;③当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点.(2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点.(3)当k>1时,直线l与C没有公共点.10.如图,河道上有一座抛物线型拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面8m,拱圈内水面宽16m.为保证安全,要求通过的船的顶部(设为平顶)与拱圈在竖直方向上的高度之差至少为0.5m.(1)一条船的顶部宽4m,在正常水位时,要使这条船安全通过,则船在水面以上部分的高度不能超过多少米?(2)近日因受台风影响水位暴涨2.7m,为此必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:一条顶部宽4√2m,在水面以上部分的高度为4m的船,船身应至少降低多少米才能安全通过?解:(1)如图所示,以过拱桥的最高点O且平行...
