课时作业9椭圆的简单几何性质[基础巩固]一、选择题1．椭圆＋＝1的短轴长为()A．8B．10C．5D．42．已知以椭圆的一个焦点和短轴的两个端点为顶点恰好构成正三角形，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.3．已知椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1，则()A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等4．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A.B.C.D.二、填空题6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．7．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．8．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．三、解答题9．求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．10．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.[能力提升]11．若椭圆＋＝1(a＞b＞0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2分别为椭圆的左、右焦点)，求椭圆的离心率e的取值范围．()A．0，B.，1C．0，D.，112．将椭圆＋＝1的长轴(线段AB)分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.113．已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．14．如图，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．课时作业9椭圆的简单几何性质1．解析：椭圆x225＋y216＝1，可知焦点在x轴上，b＝4，所以椭圆x225＋y216＝1的短轴长为8.答案：A2．解析：由题意，因为椭圆的短轴的两个端点与椭圆的一个焦点构成正三角形，所以3b＝c,3b2＝c2，因为a2＝b2＋c2＝43c2，所以e＝ca＝34＝32.答案：C3．解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42.故选D.答案：D4．解析：椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12，当0＜m＜4时，4－m2＝12，得m＝3，当m＞4时，m－4m＝12，得m＝163，即“m＝3”是“椭圆x24＋y2m＝1的离心率为12”的充分不必要条件．故选A.答案：A5．解析：由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝－1±52，又e＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.故选B.答案：B6.解析：设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4，所以b2＝8.所以椭圆的方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝17．解析：由题意，△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝60°，所以|PF2|＝2|PF1|.设|PF1|＝x，则|PF2|＝2x，|F1F2|＝3x，又|F1F2|＝2c，所以x＝2c3.即|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3.由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c3＋4c3＝2a，即e＝ca＝33.答案：338．解析：由题意得∠F1F2P＝90°，∠PF1F2＝45°，2设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，设点P(c，h)，则c2a2＋h2b2＝1，h2＝b2－b2c2a2＝b4a2，所以|h|＝b2a，Rt△PF1F2中，tan45°＝1＝|PF2||F1F2|＝|PF2|2c＝|h|2c＝b22ac＝a2－c22ac，所以a2－c2＝2ac，ca2＋2×ca－1＝0，所以ca＝2－1.答案：2－19．解析：将椭圆的方程化为标准形式，得x225＋y29＝1，所以a＝5，b＝3，则...
