高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的几何性质（一）课后导练 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.1.2椭圆的几何性质(一)课后导练基础达标1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是()A.(-1,0)、(1，0)B.(-6，0)、(6，0)C.(-6，0)、(6，0)D.(0，-6)、(0，6)答案：D2.椭圆kykxyx20419252222与=1(0＜k＜4)的关系为()A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点解析：∵20-k-(4-k)=16,∴焦距相等.答案：B3.已知椭圆C：2222byax=1与椭圆8422yx=1有相同的离心率，则椭圆C的方程可能是()A.22248myx(m≠0)B.1641622yxC.12822yxD.以上都不可能解析：把方程22222224848mymxmyx写成=1,则a2=8m2,b2=4m2.∴c2=4m2.∴.22,218422aceac而椭圆8422yx=1的离心率为22.答案：A4.曲线xyyx92522()A.仅关于x轴对称B.仅关于y轴对称1C.关于原点对称D.以上都不对答案：C5.已知椭圆2222byax=1与椭圆162522yx=1有相同的长轴，椭圆2222byax=1的短轴长与椭圆92122xy=1的短轴长相等，则()A.a2=25，b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9解析：∵椭圆162522yx=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆92122yx=1的短轴长为6，∴a2=25,b2=9.答案：D6.若椭圆经过原点，且焦点为F1(-1，0)，F2(-3，0)，则其离心率是________.解析：由F1,F2的坐标知2c=(-1)-(-3)=2∴c=1∵椭圆过原点a-c=1,a=1+c=2∴e=ac=21答案：217.若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(25，0)，则椭圆的标准方程是________.解析：设椭圆标准方程为2222byax=1(a>b>0).由题意知ba22=2,即a=2b,且c=215，由a2=b2+c2，解得,20,8022ba∴椭圆的标准方程为208022yx=1.答案：208022yx=18.如右图，直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B.该椭圆的离心率为________.2解析：∵x-2y+2=0y=21x+1,∴21cb,即21222cca.∴.552,452aceca答案：5529.椭圆过(3，0)点，离心率e=36,求椭圆的标准方程.解：当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=3,,36ac∴c=6.从而b2=a2-c2=9-6=3.∴椭圆的方程为3922yx=1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3,,36ac∴.3622aba∴a2=27.∴椭圆的方程为27922yx=1.∴所求椭圆的方程为.13912792222yxyx或10.如右图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离的510，求这个椭圆的方程.3解析：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是2222byax=1(a>b>0),再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.设椭圆方程为2222byax=1(a>b>0).由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F,因此△B1FB2为等腰直角三角形.于是|OB2|=|OF|，即b=c.又|FA|=510,即a-c=510,且a2=b2+c2.将以上三式联立，得方程组.,510,222cbacacb解得a2=10,b2=5.∴椭圆方程为51022yx=1.综合运用11.已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离是3，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y轴上的椭圆的焦点坐标、离心率.解析：由题设条件及椭圆定义知2a=4c;且a-c=3.∴c=3,a=23,b2=a2-c2=9.当焦点在x轴上时，所求的方程为91222xx=1;当焦点在y轴上时，所求的方程为12922yx=1.对后一个方程，离心率e=21ac,焦点坐标为（0,±3）.412.已知F1、F2是椭圆2222byax=1(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为e=23,求此椭圆方程.解析：由题意可得,23164acaa=4,c=23,∴b2=16-12=4.所求椭圆方程为41622yx=1.13.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为23，求ba的值.解：令A(x1,y1)、B(x2,y2),则,12121ABkxxyy,232121xxyy由得,1,122222121byaxbxaxa(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0..23·21212121xxyyxxyyba拓展探究14.设P是椭圆22ax+y2=1(a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值.解：依题意可设P(0,1),Q(x,y)则|PQ|=.)1(22yx又因为Q在椭圆上，所以x2=a2(1-y2).|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2.5=(1-a2)(y-221111aa+1+a2.因为|y|≤1,a>1.若a≥2,则|211a|≤1,当y=211a时，|PQ|取最大值;11·222aaa若1