第二章圆锥曲线与方程测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知曲线C:mx2+y2=1,则“曲线C是双曲线”是“m<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“mx2+y2=1是双曲线”充分必要条件为m·1<0,即m<0,所以选C.答案:C2.(原创题)若点A(√2,-1)在抛物线y+px2=0上,则该抛物线的准线方程为()A.y=12B.y=18C.x=12D.x=18解析:依题意有-1+p·(√2)2=0,因此p=12,抛物线方程为x2=-2y,故其准线方程为y=12.答案:A3.(2016河南郑州高二检测)若椭圆x23m+y22m+1=1的焦点在y轴上,则实数m的取值范围是()A.(-12,1)B.(0,1)C.(0,12)D.(-12,12)解析:由题意得3m>0,2m+1>0且2m+1>3m,得0b>0)上任意一点到直线l1:x=-a2c和l2:x=a2c的距离分别为d1和d2,椭圆的焦距为2c,若d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为()1A.1B.12C.√22D.√2解析:由已知,得d1+d2=|a2c-(-a2c)|=2a2c.由d1,2c,d2成等差数列,得d1+d2=4c,∴2a2c=4c,得a=√2c,∴离心率e=ca=√22,故选C.答案:C7.过抛物线y=2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1x2=()A.-2B.-12C.-4D.-116解析:由y=2x2,得x2=12y,其焦点坐标为F(0,18).取直线y=18,则其与抛物线y=2x2交于(-14,18),(14,18)两点,所以x1x2=-116.故选D.答案:D8.设A,P是椭圆x22+y2=1上的两点,点A关于x轴的对称点为点B(异于点P),若直线AP,BP分别交x轴于点M,点N,则⃗OM·⃗ON的值等于()A.0B.1C.√2D.2解析:不妨设点P是椭圆的右顶点,即P(√2,0),因为A,B两点关于x轴对称,所以直线AP,BP与x轴的交点都是点P,即M,N,P三点重合,则⃗OM·⃗ON=(√2,0)·(√2,0)=2.答案:D9.(2016吉林长春高二检测)已知直线3x-y+6=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为()A.x240+y24=1B.x25+y2=1C.x210+y2=1D.x210+y24=1解析:直线3x-y+6=0与x轴、y轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F1(-2,0),N(0,6),于是c=2,又因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF1|=|NF1|=√22+62=2√10,于是a=√10,从而b2=10-4=6,故椭圆方程为x210+y24=1.答案:D10.已知点A(3,0),点P在抛物线y2=4x上,过点P的直线与直线x=-1垂直相交于点B,|PB|=|PA|,则cos∠APB的值为()A.12B.13C.-12D.-13解析:由题可知,抛物线的焦点F(1,0),由于过抛物线y2=4x上一点P的直线与抛物线的准线x=-1垂直相交于点B,可得|PB|=|PF|,又|PB|=|PA|,故|PA|=|PF|,所以点P的坐标为(2,±2√2),点B的坐标为(-1,±2√2),可得|AB|=2√6,由余弦定理得cos∠APB=|PB|2+|PA|2-|AB|22·|PB|·|PA|=32+32-(2√6)22×3×3=-13.答案:D211.过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,则这条弦所在直线的斜率等于()A.-2B.12C.-12D.2解析:设所求直线的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两根,于是x1+x2=8(2k2-k)4k2+1.又M为AB的中点,所以x1+x22=4(2k2-k)4k2+1=2,解得k=-12.答案:C12.(2016福建厦门高二检测)设A1,A2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2<2,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,√2)B.(1,√3)C.(√3,+...
