3.1.1数系的扩充和复数的相关概念A级基础巩固一、选择题1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅解析：因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以A＝{i，－1，－i，1},又B＝{1，－1}故A∩B＝{1，－1}．答案：C2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b|B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠bD．a≤0解析：因为z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)是实数，所以a＋|a|＝0，因此a≤0.答案：D3．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A．±1B．±iC．±iD．±2i答案：C4．下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若z＋z＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z＋z＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．答案：A5．已知集合M＝{1，2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为()A．4B．－1C．－1或4D．－1或6解析：由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，可得m＝－1.答案：B二、填空题6．已知复数z＝m2(1－i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，1所以m2－m＝0，所以m＝0或m＝1.答案：0或17．已知M＝{1，(m＋3)i}，N＝{1，2，3i}，若M∩N＝M，则实数m的值为________．解析：由M∩N＝M，得M⊆N，所以(m＋3)i＝3i，即m＋3＝3，m＝0.答案：08．设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________．解析：关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，可得n2－(2＋i)n＋1＋mi＝0.所以所以m＝n＝1.答案：1三、解答题9．当实数m为何值时，复数z＝(m2＋m－6)i＋是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解：(1)由得m＝2.所以当m＝2时，z是实数．(2)由得即m≠2且m≠－3.所以当m≠2且m≠－3时，z是虚数．(3)由得即m＝3或m＝4.所以当m＝3或m＝4时，z是纯虚数．10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．解：因为M∪P＝P，所以M⊆P，所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得解得m＝2.综上可知m＝1或m＝2.B级能力提升1．若sin2θ－1＋(cosθ＋1)i是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－(k∈Z)B．kπ＋(k∈Z)C．2kπ±(k∈Z)D.π＋(k∈Z)解析：由题意，得解得(k∈Z)，所以θ＝kπ＋，k∈Z.答案：B2．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，则实数x的取值范围是________．解析：由log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)＞1，且x∈R，所以由①得x＝0或x＝－2，当x＝0时，代入②式不成立，舍去．当x＝－2时，代入②式，有log2(4＋6－2)＝3＞1成立，因此x＝－2.2答案：{x|x＝－2}3．已知复数z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，λ，m∈R，θ∈，z1＝z2，求λ的取值范围．解：由z1＝z2，λ，m∈R，可得整理，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4－.因为θ∈，所以sinθ∈[0，1]．则当sinθ＝时，λ取最小值－.当sinθ＝1时，λ取最大值1.因此，实数λ的取值范围是.3
