第8课时直线与椭圆的位置关系(限时：10分钟)1．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m＞0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为()A．1B.C．2D．2解析：联立方程消去y得(1＋m2)x2＋2x＋6－m2＝0.由已知Δ＝24－4(1＋m2)(6－m2)＝0，解得m2＝5或m2＝0(舍)．∴椭圆的长轴长为2.答案：D2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为__________．解析：椭圆＋＝1的右焦点为F(1,0)，过F(1,0)且斜率为2的直线方程为y＝2(x－1)，即y＝2x－2.代入4x2＋5y2＝20得4x2＋5×4(x2－2x＋1)＝20.∴x1＝0，x2＝.∴y1＝－2，y2＝.∴A(0，－2)，B.∴|AB|＝＝.又点O(0,0)到y＝2x－2的距离为d＝，∴S△OAB＝××＝.答案：3．已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|.解析：椭圆方程为＋＝1，a＝，b＝2，c＝1.∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性，设l过左焦点)，由消去y，得9x2＋10x－15＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝－，|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝×＝.(限时：30分钟)1．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，且OA＋OB与m＝(3，－1)共线，求椭圆的离心率．解析：设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为(c,0)，则直线方程为y＝x－c.联立方程消去y得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2c2－a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝x1＋x2－2c＝－2c＝.1∵OA＋OB与m＝(3，－1)共线，∴(x1＋x2)＋3(y1＋y2)＝0.∴2a2c－6b2c＝0，∴a2＝3b2.∴c2＝2b2.∴e2＝＝.∴椭圆的离心率为e＝.2．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，)，(0，－)的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程；(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时，OA⊥OB？解析：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为a＝2的椭圆，它的短半轴长b＝＝1，故C的方程为x2＋＝1.(2)由消去y，并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，Δ＝(2k)2－4×(k2＋4)×(－3)＝16(k2＋3)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝.由＝0，得k＝±，此时OA⊥OB.3．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4.又e＝＝，∴＝，即1－＝，∴a＝5.∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝，∴AB的中点坐标＝＝，＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点为.2
