第一章导数及其应用阶段通关训练(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2017·永安高二检测)曲线y=x3在点x=2处的切线方程是()A.12x-y-16=0B.12x+y-32=0C.4x-y=0D.4x+y-16=0【解析】选A.由题意,可对函数y=x3进行求导得y′=3x2,当x=2时,y=23=8,y′=3×22=12,所以切线方程为y-8=12(x-2),即12x-y-16=0.2.在下面所给图形阴影部分的面积S及相应的表达式中,正确的有()1A.①③B.②③C.①④D.③④【解析】选D.①应是S=[f(x)-g(x)]dx,②应是S=2dx-(2x-8)dx,③和④正确.【补偿训练】曲线y=x2+2x与直线x=-1,x=1及x轴所围图形的面积为()A.2B.C.D.【解析】选A.S=-(x2+2x)dx+(x2+2x)dx=-+=+=2.3.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是()2A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]【解题指南】讨论x的范围利用分离参数法,转化为最值问题.【解析】选B.当x∈(0,1]时,得a≥-3-4+,令t=,则t∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),则g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)·(9t-1),显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)单调递减,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6;同理,当x∈[-2,0)时,得a≤-.由以上两种情况得-6≤a≤-,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为.4.设f(x)=(其中e为自然对数的底数),则f(x)dx的值为()A.B.C.D.【解析】选A.f(x)dx=x2dx+dx3=x3+lnx=-0+lne-ln1=+1=.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.联立所以O(0,0),B(1,1),所以S阴影=(-x)dx=(-)=-=,所以P===.6.(2017·沈阳高三检测)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f′(x)是f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,00,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为()A.2B.4C.5D.84【解析】选B.因为当x∈(0,π)且x≠时,f′(x)>0,所以当x∈时,f′(x)<0;当x∈时,f′(x)>0.y′=f′(x)-cosx,当x∈时,y′<0,y=f(x)-sinx为减函数;当x∈时,y′>0,y=f(x)-sinx为增函数,计算可知:x=0时,y>0;x=时,y<0;x=π时,y>0;x∈[-π,0)时,y>0,故y=f(x)-sinx在[-π,π]上有且只有2个零点,根据周期性可知:y=f(x)-sinx在[-2π,2π]有且只有4个零点.二、填空题(每小题5分,共20分)7.已知函数f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,函数g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)内单调递减,则实数m=________.【解析】若f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函数,则m2-4=0,m=±2.若g′(x)=-3x2+4x+m≤0恒成立,则Δ=16+4×3m≤0,解得m≤-,故m=-2.答案:-28.计算定积分(+2x)dx=________.【解析】dx的几何意义表示单位圆面积的四分之一,所以dx=,2xdx=x2=1,所以原定积=dx+2xdx=+1.5答案:+19.(2017·永安高二检测)曲线f(x)=x3-x+3在点P(1,3)处的切线方程是______.【解析】设切线方程为y-3=k(x-1),因为f′(x)=3x2-1,所以当x=1时,f′(x)=2,即k=2,所以y-3=2(x-1),整理得2x-y+1=0.答案:2x-y+1=010.(2016·全国卷Ⅱ)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=________.【解析】y=lnx+2的切线为:y=·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1),y=ln(x+1)的切线为:y=x+ln(x2+1)-(设切点横坐标为x2),所以解得x1=,x2=-,所以b=lnx1+1=1-ln2.答案:1-ln2【补偿训练】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=(1+2x)dx,S20=17,则S30等于()A.15B.20C.25D.30【解析】选A.S10=(1+2x)dx=(x+x2)=12,又因为{an}为等差数列,所以2(S20-S10)=S10+S30-S20.所以S30=3(S20-S10)=3×(17-12)=15.三、解答题(共4小题,共50分)611.(12分)(2017·安庆高二检测)求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成平面图形的面积.【解析】作出曲线xy=1,直线x=y,y=3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.求交点坐标:由得故A;由得或(舍去),故B(1,1);由得故C(3,3),故所求面积S=S1+S2=dx+(3-x)dx=(3x-lnx)+=4-ln3.12.(12分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标.(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.【解析】(1)由y=x3+x-2,得y′=3x2+1.由已知令3x2+1=4,解得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又因为点P0在第三象限,所以切点P0的坐标为(-1,-4).(2)因为直线l⊥l1,l1的斜率为4,所...
