课时作业(十一)双曲线的简单几何性质A组基础巩固1．双曲线4y2－9x2＝36的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：方程可化为－＝1，焦点在y轴上，∴渐近线方程为y＝±x.答案：A2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：2c＝10，c＝5.∵点P(2,1)在直线y＝x上，∴1＝.又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5.故C的方程为－＝1.答案：A3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为()A．－B．－4C．4D.解析：由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m＜0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1.又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.答案：A4．如果椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，那么双曲线－＝1的离心率为()A.B.C.D．2解析：由已知椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴双曲线离心率e＝.答案：A5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则该双曲线的方程为()A．x2－y2＝1B．x2－＝1C．x2－＝1D.－y2＝1解析：由已知＝2，c－a＝1，∴c＝2，a＝1.∴b2＝c2－a2＝3.∴所求双曲线方程为x2－＝1.答案：B6．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为()A．2B．3C．4D．5解析：由已知可知双曲线的焦点在y轴上，∴＝＝.∴m＝9.1∴双曲线的焦点为(0，±)，焦点F到渐近线的距离为d＝3.答案：B7．若双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是__________．解析：由＋＝1表示双曲线，得b＜0，∴离心率e＝∈(1,2)．∴－12＜b＜0.答案：(－12,0)8．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为________．解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，故c＝4，且满足＝2，故a＝2，b＝＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.答案：(4,0)，(－4,0)y＝±x9．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．解析：设F(c,0)，P(m，n)，(m＜0)，设PF的中点为M(0，b)，即有m＝－c，n＝2b，将点(－c,2b)代入双曲线方程可得，－＝1，可得e2＝＝5，解得e＝.故答案为.答案：B组能力提升10．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.B.C．2D．3解析：设双曲线的两焦点分别为F1，F2，由题意可知|F1F2|＝2c，|AB|＝2|AF1|＝4a，在Rt△AF1F2中，∵|AF1|＝2a，|F1F2|＝2c，|AF2|＝，∴|AF2|－|AF1|＝－2a＝2a，即3a2＝c2，∴e＝＝.答案：B11．已知双曲线－＝1的左顶点为A，过右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于M，N两点，则△AMN的面积为__________．解析：由已知得A点坐标为(－3,0)，右焦点F坐标为(5,0)，把x＝5代入－＝1，得y＝±.∴S△AMN＝×8×＝.答案：12．已知双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)．(1)求双曲线的实轴长和虚轴长；(2)若已知M(4,0)，点N(x，y)是双曲线上的任意一点，求|MN|的最小值．解：(1)由题意可知，m＋3m＝4，∴m＝1.∴双曲线方程为x2－＝1.∴双曲线实轴长为2，虚轴长为2.(2)由x2－＝1，得y2＝3x2－3，2∴|MN|＝＝＝＝.又∵x≤－1或x≥1，∴当x＝1时，|MN|取得最小值3.13．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解：设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±.∴|PF1|＝.由双曲线对称性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q＝90°.知|F1F2|＝|PQ|＝|PF1|，∴＝2c，则b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0，∴2－2×－1＝0.即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．∴所求双曲线的离心率为1＋.14．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率的取值范围．解析：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝，s＝d1＋d2＝＝，由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，于是有5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5.由于e＞1＞0，所以e的取值范围是≤e≤.3
