课时作业7二项式定理时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共计40分)1．(x＋2)6的展开式中x3的系数是(D)A．20B．40C．80D．160解析：方法1：设含x3的为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx6－r·2r，令6－r＝3，得r＝3，故展开式中x3的系数为C×23＝160.方法2：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x与2的次数和为6，则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可，则展开式中x3的系数为C×23＝160.2．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为(A)A．－210B．210C．－120iD．－210i解析：由通项公式得T7＝C(－i)6＝－C＝－210.3．(x－y)10的展开式中x6y4项的系数是(A)A．840B．－840C．210D．－210解析：在通项Tr＋1＝C(－y)rx10－r中，令r＝4，即得(x－y)10的展开式中x6y4项的系数为C·(－)4＝840.4．1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于(C)A．1B．－1C．(－1)nD．3n解析：逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.5．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(B)A．4B．5C．6D．7解析：n展开式中的第r＋1项为C(3x)n－rx－r＝C3n－rxn－r，若展开式中含常数项，则存在n∈N*，r∈N，使n－r＝0，故最小的n值为5，故选B.6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(D)A．－4B．－3C．－2D．－1解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为Cxr(0≤r≤5，r∈Z)，则原式中含x2的项为Cx2＋ax·Cx＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.7．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(B)A．5B．6C．7D．8解析：由题意可知，a＝C，b＝C，又∵13a＝7b，∴13·＝7·，即＝.解得m＝6.故选B.8．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(B)A．x＝5，n＝5B．x＝5，n＝4C．x＝4，n＝4D．x＝4，n＝3解析：Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，检验得B正确．二、填空题(每小题6分，共计18分)9．在(x－a)10的展开式中，x7的系数是15，则实数a＝－.解析：T4＝Cx7(－a)3，则C(－a)3＝15，解得a＝－.10．(x＋)100的展开式中，系数为有理项的共有17项．解析：Tr＋1＝C(x)100－r()r＝C·3·2·x100－r(r＝0,1,2，…，100)，为使系数为有理数，r必为2与3的倍数，即6的倍数，故r＝0,6,12，…，96，共有17个．11．(x2＋2)5的展开式的常数项是3.解析：5展开式的通项为Tr＋1＝C·5－r·(－1)r＝(－1)rC.令10－2r＝2或10－2r＝0，解得r＝4或r＝5.故(x2＋2)·5的展开式的常数项是(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.三、解答题(共计22分)12．(10分)已知n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项．(2)求展开式中所有的有理项．若Tk＋1是常数项，则＝0，即16－3k＝0，∵k∈Z，这不可能，∴展开式中没有常数项．(2)由(1)知，若Tk＋1是有理项，当且仅当为整数．∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.13．(12分)已知n的展开式的前三项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项？一次项？若没有，请说明理由；若有，请求出来．解：∵Tr＋1＝C(x)n－r·r＝C·2r·x，r＝0,1,2，…，n，∴由题意C·20＋C·21＋C·22＝129.结合组合数公式，有1＋2n＋2n(n－1)＝2n2＋1＝129，∴2n2＝128，n2＝64.∴n＝8.∴Tr＋1＝C·2r·x，r＝0,1,2，…，8.若展开式中存在常数项，则72－11r＝0，则r＝∉N＋，∴展开式中不存在常数项．若展开式中存在一次项，则＝1，∴72－11r＝6.∴r＝6.∴展开式中存在一次项，它是第7项，T7＝C·26x＝C·26x＝1792x.——素养提升——14．(5分)设m为大于1且小于10的正整数，若m的展开式中有不含x的项，则满足这样条件的m有1个．解析：m的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x3)m－r·r＝(－1)r·C·x3m－5r.因为展开式中有不含x的项，所以有3m－5r＝0，即3m＝5r.又1
