高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4 不等式的证明（二）训练 北师大版选修4-5-北师大版高二选修4-5数学试题VIP免费

1.4不等式的证明（二）一、选择题1.a>0，b>0，下列不等式中不成立的是()A.＋≥2B.a2＋b2≥2abC.＋≥a＋bD.＋≥2＋解析由∈(0，＋∞)且∈(0，＋∞)，得＋≥2，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3＋b3≥a2b＋ab2⇔(a2－b2)(a－b)≥0.答案D2.设a、b、x、y均为正数，且a、b为常数，x、y为变量，若x＋y＝1，则＋的最大值为()A.B.C.D.解析＋≤＋＝，故选B.答案B3.如果0y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是()A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|解析由已知3x>x＋y＋z＝0，3z0，z<0.由得：xy>xz.答案C5.设00，∴a3＋b3＋c3≥3abc⇔a＋b＋c≥0.答案a＋b＋c≥017.已知a>b>c，则与的大小关系为______________.解析∵a－b>0，b－c>0，∴≤＝.∴≤.答案≤三、解答题8.已知|a|<1，|b|<1，求证：<1.证明要证<1，只需证|a＋b|<|1＋ab|，也只需证a2＋2ab＋b2<1＋2ab＋a2b2，即证(1－a2)－b2(1－a2)>0，也就是(1－a2)(1－b2)>0，∵|a|<1，|b|<1，∴最后一个不等式显然成立.因此原不等式成立.9.已知实数a，b，c，d，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，求证：|ac＋bd|≤1.证明法一(分析法)要证|ac＋bd|≤1，只需证明(ac＋bd)2≤1.即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤1.∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.∴上式即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，即证(ad－bc)2≥0.∵a，b，c，d都是实数，∴(ad－bc)2≥0成立.∴|ac＋bd|≤1.法二(综合法)∵a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋＝＝1.法三(三角换元法)∵a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，∴可令a＝sinα，b＝cosα，c＝sinβ，d＝cosβ，∴|ac＋bd|＝|sinαsinβ＋cosαcosβ|＝|cos(α－β)|≤1.10.设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则＋＞＋；(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.证明(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，得(＋)2＞(＋)2.因此＋＞＋.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2,即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)，得＋＞＋.②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，2即a＋b＋2＞c＋d＋2.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件.3