第二章2.22.2.2第2课时请同学们认真完成练案[13]A级基础巩固一、选择题1．直线l：2x－y＋2＝0过椭圆左焦点F和一个顶点B，则该椭圆的离心率为(B)A．B．C．D．[解析] 直线l：2x－y＋2＝0中，令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝－1.直线l：2x－y＋2＝0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，∴椭圆左焦点F1(－1,0)，顶点B(0,2)．∴c＝1，b＝2，a＝＝，∴该椭圆的离心率为e＝＝＝.故选B．2．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是(B)A．b2B．bcC．abD．ac[解析]S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF|·|yA－yB|，当A、B为短轴两个端点时，|yA－yB|最大，最大值为2b.∴△ABF面积的最大值为bc.3．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(C)A．3B．2C．2D．4[解析]设椭圆方程mx2＋ny2＝1(m≠n>0)，消x得(3m＋n)y2＋8my＋16m－1＝0，Δ＝192m2－4(16m－1)(3m＋n)＝0，整理得3m＋n＝16mn，即＋＝16①又c＝2，焦点在x轴上，∴－＝4②由①②解得m＝，n＝，∴长轴长为2.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1[解析]根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b＝，椭圆的方程为＋＝1.15．如果AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为(C)A．e－1B．1－eC．e2－1D．1－e26．(2017·全国Ⅰ文，12)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(A)A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)[解析]方法1：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.又tan∠AMB＝tan120°＝－，且由＋＝1可得x2＝3－，则＝＝－.解得|y|＝.又0<|y|≤，即0<≤，结合03时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则≥tan60°＝，即≥，解得m≥9.故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A．二、填空题7．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是__x＋2y－4＝0__.[解析]设弦两端点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并把x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入得，＝－，∴所求直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.8．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围为__[1,5，)∪(5，＋∞)__.[解析]将y＝kx＋1代入椭圆方程，消去y并整理，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5－5m＝0.由m>0,5k2≥0，知m＋5k2>0，故2Δ＝100k2－4(m＋5k2)(5－5m)≥0对k∈R恒成立．即5k2≥1－m对k∈R恒成立，故1－m≤0，∴m≥1.又 m≠5，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.三、解答题9．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．[解析](1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为(－3)＝－，即所截线段的中点坐标为(，－)．10．(2019－2020学年辽宁葫芦岛协作校考试)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点(3,3)，F为椭圆M的左焦点，直线l：y＝x与椭圆M交于P，Q两点．(1)求椭圆M的标准方程；(2)求△PQF的面积．[解析](1)由题意可得，解得a2＝36，b2＝12，故椭圆M的标准方程为＋＝1.(2)因为F为椭圆M的左焦点，所以F的坐标为(－2，0)，则点F到直线l的距离d＝＝，联立，整理得x2＝18，则x1＝3，x2＝－3，y1＝，y2＝－，从而|PQ|＝＝＝4，故△PQF...
