2.3.2双曲线的简单几何性质1.双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为(A)(A)2(B)2(C)(D)1解析:因为双曲线-=1的一个焦点为F(4,0),其中一条渐近线方程为y=x,所以点F到x-y=0的距离为=2.故选A.2.下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是(C)(A)x2-=1(B)-y2=1(C)-x2=1(D)y2-=1解析:双曲线-x2=1的焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x,选C.3.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则双曲线C的方程是(B)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:依题意得,c=3,e=,所以a=2,从而a2=4,b2=c2-a2=5,故选B.4.实轴长为2,虚轴长为4的双曲线的标准方程是(D)1(A)x2-=1(B)y2-=1(C)-=1或-=1(D)x2-=1或y2-=1解析:2a=1,2b=4,焦点在x轴时,双曲线的标准方程是x2-=1,焦点在y轴时,标准方程为y2-=1,故选D.5.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a等于(D)(A)2(B)(C)(D)1解析:由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此==4,又a>0,所以a=1.故选D.6.设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为(D)(A)(B)(C)4(D)解析:由双曲线的定义知(|PF1|-|PF2|)2=4a2,2所以4a2=b2-3ab,即-3·=4,解得=4(=-1舍去).因为双曲线的离心率e==,所以e=.故选D.7.直线l经过P(1,1)且与双曲线x2-=1交于A,B两点,如果点P是线段AB的中点,那么直线l的方程为(D)(A)2x-y-1=0(B)2x+y-3=0(C)x-2y+1=0(D)不存在解析:当斜率不存在时,方程为x=1,与双曲线相切不符合题意,当斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得两式相减得-=(-),整理求出k=2,则直线方程为y=2x-1,联立直线方程与双曲线方程消元后检验Δ<0,方程无解,所以不存在.故选D.8.若在双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是(C)(A)(,+∞)(B)(1,)(C)(2,+∞)(D)(1,2)解析:由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=3与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2.故选C.9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=;b=.解析:由2x+y=0,得y=-2x,所以=2.又c=,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.答案:1210.已知双曲线标准方程为-=1(a>0,b>0),一条渐近线方程为y=3x,则双曲线的离心率是.解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=3,则离心率e=====.答案:11.与双曲线-=1有相同渐近线,且经过点(3,-3)的双曲线的标准方程是.解析:设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0),因为所求双曲线经过点(3,-3),所以-=λ,所以λ=,所以所求双曲线的标准方程为-=1.4答案:-=112.过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线有条.解析:依题意得右焦点F(5,0),所以过F且垂直于x轴的直线是x=5,代入-=1,得y=±,所以此时弦长为×2=.当直线不垂直x轴时,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比长.因为两顶点间距离为4,即左右两支上的点的最短距离是4,所以如果交于两支的话,弦长不可能为,故只有一条.答案:113.分别求中心在原点,对称轴为坐标轴,且满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0);(2)双曲线过点(3,9),离心率e=.解:(1)设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由已知得a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线C的标准方程为-y2=1.(2)由e2=,得=,设a2=9k(k>0),则c2=10k,b2=c2-a2=k.于是,设所求双曲线方程为-5=1,①或-=1,②把(3,9)代入①,得k=-161与k>0矛盾;把(3,9)代入②,得k=9,故所求双曲线的标准方程为-=1.14.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M在以F1F2为直径的圆上.(1)解:因为离心率e=,所以设所求双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),则由点(4,-)在双曲线上,知λ=42-(-)2=6,所以双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:若点M(3,m)在双曲线上,则32-m2=6,所以m2=3,由双曲线x2-y2=6知F1(-2,0),F2(2,0),所以·=(-2-3,-m)·(2-3,-m)=(-2-3)×(2-3)+m2=-12+9+m2=0,所以⊥,故点M在以F1F2为直径的圆上.15.斜率为k的直线过点P(0,1),与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.(1)...
