课时作业56定点、定值、探究性问题1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，右焦点F的坐标为(2,0)，且点(2，)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)过点F的直线交椭圆于A，B两点(直线不与x轴垂直)，已知点A与点P关于x轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标．解：(1)由已知得解得∴椭圆C的标准方程＋＝1，∴椭圆C的离心率e＝＝＝.(2)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，－y1)，可设PB的直线方程为y＝kx＋m，联立方程整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， kAF＝kFB，∴＝，整理得，2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－4m＝0，∴2k·＋(m－k)·－4m＝0，解得m＝－4k，∴PB的直线方程为：y＝kx－4k＝k(x－4)，直线PB恒过定点(4,0)．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．解：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝.又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)证明：由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，所以F1M＝(－2，－3k＋m)，F1N＝(4,3k＋m)，所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2.联立得，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，化简得m2＝9k2＋8.所以F1M·F1N＝－8＋m2－9k2＝0，所以F1M⊥F1N，故∠MF1N为定值.(注：可以先通过k＝0计算出此时∠MF1N＝，再验证一般性结论)3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求证：点(m，k)在定圆上．解：(1)椭圆C的焦距为2c，由已知e＝＝，2b＝2，a2＝b2＋c2，得b＝1，a＝2，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得，(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1.①由根与系数的关系得，x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2，∴4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，∴(4k2－5)×＋4km·＋4m2＝0，即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝.②由①②得0≤m2<，0，得t>1或t<－1，所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2.代入③式得kMA＋kMB＝.令＝m(m为常数)，整理得(8my0－64)t＋(my－16y0＋16m)＝0.④因为④式对任意t∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)恒成立，所以解得或即M(2,4)或M(－2，－4)，即曲线C上存在点M(2,4)或M(－2，－4)满足题意．5．已知F为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，点P(2，)在椭圆C上，且PF⊥x轴．(1)求椭圆C的方程．(2)如图，过点F的直线l分别交椭圆C于A，B两点，交直线x＝4于点M.判定直线PA，PM，PB的斜率是否构成等差数列？请说明理由．解：(1)因为点P(2，)在椭圆C上，且PF⊥x轴，所以c＝2.设椭圆C的左焦点为E，则|EF|＝2c＝4，|...
