第4讲圆锥曲线中的综合问题圆锥曲线中的最值与范围问题训练提示:求解最值与范围问题的关键是寻找目标函数或关系式,将所求量转化求解.1.已知圆M:(x+a)2+y2=16a2(a>0)及定点N(a,0),点P是圆M上的动点,点G在MP上,且满足|GP|=|GN|,G点的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若点A(1,0)关于直线x+y-t=0(t>0)的对称点在曲线C上,求a的取值范围.解:(1)设G(x,y),因为|PG|+|GM|=4a,且|PG|=|GN|,所以|GM|+|GN|=4a>2a,由椭圆定义得,曲线C的方程为+=1.(2)设A(1,0)关于直线x+y-t=0(t>0)的对称点为A′(m,n),则所以所以A′(t,t-1),因为A′(t,t-1)在曲线C:+=1上,所以t2+4(t-1)2=4a2,化简得5t2-8t+4-4a2=0(t>0),因为此方程有正根,令f(t)=5t2-8t+4-4a2,其图象的对称轴为t=>0,所以Δ=(-8)2-4×5(4-4a2)≥0,所以a≥或a≤-,因为a>0,所以a的取值范围为[,+∞).2.已知抛物线C:x2=4y,F为其焦点.(1)设P为直线l:x-y-2=0上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(2)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.解:(1)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y′=x.设A(x1,y1),B(x2,y2)(其中y1=,y2=),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2.所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.同理,可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.故直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(2)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.所以+-2y0+1=2+2y0+5=2(y0+)2+.所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.圆锥曲线中的定点、定值问题训练提示:由直线方程确定定点,若得到直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零,得出定值.3.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.(1)解:如图所示,设动圆圆心O1(x,y),由题意,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,所以|O1M|=,又|O1A|=,所以=,化简得y2=8x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,所以动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.(2)证明:如图,由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中Δ=-32kb+64>0.由根与系数的关系得,x1+x2=,①x1x2=,②因为x轴是∠PBQ的角平分线,所以=-,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③将①②代入③,并整理得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,所以k=-b,此时Δ>0,所以直线l的方程为y=k(x-1),所以直线l过定点(1,0).4.已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程;(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值.解:(1)设椭圆半焦距为c,圆心O到l的距离d==,则l被圆O截得的弦长为2,所以b=.由题意得又b=,所以a2=3,b2=2.所以椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设点P(x0,y0),过点P的椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k(x-x0),整理得y=kx+y0-kx0,联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得2[kx+(y0-kx0)]2+3x2-6=0,整理得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因为l0与椭圆E相切,所以Δ=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0,整理得(2-)k2+2x0y0k-(-3)=0,设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-.因为点P在圆O上,所以+=5,所以k1k2=-=-1.所以两条切线斜率之积为常数-1.圆锥曲线中的存在性问题训练提示:存在性问题,先假设存在,进行一系列推理,若...
