确定直线与圆位置关系的综合题近年来的中考试题中，有一类判定直线与圆的位置关系的综合题，这类题涉及几何与代数的综合应用，知识点多，难度大，为使同学们解这类题有一定的思路，特举例说明其解法．例1已知：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8厘米，AD=24厘米，BC=26厘米，AB为圆O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米／秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米／秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．求(1)t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？(2)t分别为何值时，直线PQ与圆O相切、相交、相离？(97年河北)解(1) AD∥BC，∴只要QC=PD，四边形PQCD就为平行四边形，此时，有3t=24-t，得t=6，即当t=6秒时，四边形PQCD就是平行四边形．同理，只要PQ=CD，PD≠CQ时，四边形PQCD就是等腰梯形．如图2，从P、D分别作BC的垂线交BC于E、F，则EF=PD，QE=FC=2．∴当t=7时，四边形PQCD为等腰梯形．(2)设运动t秒时，直线PQ与圆O相切于点M(如图3)，从P作PH⊥BC于H．则PH=AB，BH=AP．∴PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t，由切线长定理，得PQ=PA+QB=t+26-3t=26-2t， PQ2=PH2+HQ2，∴(26-2t)2=82+(26-4t)2，例2如图4，在平面直角坐标系中，点O’的坐标为(0，3)，圆O’与y轴交于原点O和点A，又B、C、E三点的坐标为(0，-2)、(4，0)、(x，0)，且0＜x＜4．(1)求点A的坐标；(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O’有哪几种位置关系；(3)求出直线BE与圆O’每种位置关系时，x的取值范围．(97年乌鲁木齐)解(1)A点坐标为(0，6)；(2)直线BE与圆O’有相离、相切、相交三种位置关系；(3)如图4，当直线BE与圆O’相切于点D时，连结O’D，则三角形O’BD是直角三角形， O’D=3，O’B=5， △O’BD∽△EBO，练习如图5，在直角坐标系中，点O’的坐标为(2，0)，圆O’与x轴交于原点O和点A，又B、C、E三点的坐标分别为(-1，0)、(0，3)、(0，b)且0＜b＜3．(1)求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式；(2)当点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O’有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时，b的取值范围．(96年江西)切线判定中的能力培养在平面几何的第三册中给出了关于圆的切线判定有三种方法：首先是切线的定义：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．其二，如果一个圆的圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，那么这条直线是该圆的切线．其三，是切线的判定定理，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．之所以给出三种判定方法，不仅是因为它们之间存在着内在的必然的联系，更主要的是可以运用它们从不同的角度进行判定，开拓了切线判定的各条通路，从而由题目中的不同的已知条件，选择恰当的方法来完成证明．下面具体地就几道例题的分析，帮助同学们灵活地掌握切线判定方法的应用．例1如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若(1)r=2；(2)r＝2.4；(3)r=3，那么以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？分析：判定直线与圆的位置关系，除观察直线与圆的交点个数外，还可以比较圆心到直线的距离与半径的大小．一般常用后一种方法，本题中⊙C的半径是已知的，所以只需求解C到直线AB的距离，而这个距离又是可求的——它是已知Rt△ABC的顶点C到斜边AB的垂线段的长．解：作CD⊥AB于D． ∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=5．又根据三角形面积公式得CA·BC=CD·AB．即圆心C到直线AB的距离d=2.4．(1)当r=2时，d＞r，AB与⊙C相离；(2)当r=2.4时，d=r，AB与⊙C相切；(3)当r=3时，d＜r，AB与⊙C相交．例2如图2，△ABC内接于⊙O，直线MN经过点C，而且∠BCM=∠A．求证：MN是⊙O的切线．分析：MN与⊙O之间存在着公共点C，从已知中无法对C点的唯一性作出判断，由圆的切线的判定定理知，与圆有公共点的直线，如果与圆中经过这个点的半径垂直，那么，直线MN到圆心O的距离等于半径(直线MN与⊙O的公共点唯一)，则必有直线MN与圆O相切．解题的关键是证明直线与过公共点的半径垂直．证明：过C点作直径CD，连结BD．则∠DBC=90°，∴∠D+∠DCB=90°．...
