天津市蓟州区2019届高三数学上学期期中试题理（扫描版）高三理参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．（1）A（2）C（3）B（4）B（5）B（6）B（7）D（8）B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．（9）（10）15（11）（12）(-1,1)∪（2，+∞）（13）54（14）三、解答题（15）解：（Ⅰ）………………………………6分（Ⅱ）函数在区间为增函数，在区间为减函数，又，……………………13分（16）解：（Ⅰ）因为，所以，，，........................4分所以在点处切线的斜率为：，所以切线方程为，即………………………6分（Ⅱ）∵,由得，由得或，则函数的单调递增区间为，...........................................10分单调递减区间为和列表如下：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a,+∞)f′(x)—0+0—f(x)－a3+bb∴函数的极大值为b，极小值为－a3+b…………………………（13分）（17）解：（Ⅰ）由题意有，，即．.................2分解得或，故或．..........................4分（Ⅱ）由，知，，故，.................................6分于是，①.②....................10分①-②可得，..................................................12分故．....................................................13分（18）解：（Ⅰ）由已知，整理得，即∵A+B+C=180°，∴，∴sinA=2sinAcosB，又∵，……4分∵∴B=60°，b=……………6分（Ⅱ）由余弦定理，得…解得，（舍）.................................................10分∴，…………13分（19）解：（Ⅰ）由得，...........................................2分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得从而，..........4.分（1）当时，由得，由得；（2）当时，由得，由得；....................6分综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．..........8分（Ⅲ）当时，，．由（Ⅱ）可得，当在区间内变化时，的变化情况如下表：－0+单调递减极小值1单调递增2又，所以函数的值域为[1，2]．.................................12分据此可得，若，则对每一个，直线与曲线都有公共点．并且对每一个，直线与曲线都没有公共点．综上，当时，存在最小的实数=1，最大的实数=2，使得对每一个，直线与曲线都有公共点．...................................................14分（20）解：（Ⅰ）由题意，，，知，又由，得公比（舍去），................2分所以数列的通项公式为，....................................................4分所以，故数列的通项公式为，；....................................6分（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，...............8分所以；.......................................................10分（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．...........................................14分
