3.1.2两条直线平行与垂直的判定1.下列命题中正确命题的个数是()①若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行;②若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等;③若两直线垂直,则这两条直线的斜率之积为-1;④若两条直线平行,则这两条直线的倾斜角相等;⑤若两直线的斜率不存在,则这两条直线平行.A.1B.2C.3D.4解析:①错,两直线可能重合;②错,有可能两条直线的斜率不存在;③错,有可能一条直线的斜率不存在;④正确;⑤错,有可能这两条直线重合.B答案:A()2.直线l1的倾斜角为30°,直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为A.3B.-3C.33D.-33解析:12llkk=-1,1lk=33,∴2lk=-3.3.直线l平行于经过两点A(-4,1),B(0,-3)的直线,则直线的倾斜角为()DA.30°B.45°C.120°D.135°4.原点在直线l上的射影是P(-2,1),则l的斜率为___.2重难点1两直线平行1.已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,如果l1∥l2,则k1=k2且b1≠b2;如果k1=k2且b1≠b2,则l1∥l2.2.当l1与l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时,则l1与l2平行.解析:kOP=1-2=-12,则kl=2.重难点2两条直线垂直(1)当l1⊥l2时,它们的斜率之间的关系有两种情况:①它们的斜率都存在且k1k2=-1;②一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0.(2)使用l1⊥l2⇔k1k2=-1的前提是l1和l2都有斜率且不等于0.注意:在立体几何中,两直线的位置关系有平行、相交和异面(没有重合关系);而在本章中,在同一平面内,两直线有重合、平行、相交三种位置关系.两条直线平行的判定例1:已知直线l1过点A(3,a),B(a-1,4),直线l2过点C(1,2),D(-2,a+2).(1)若l1∥l2,求a的值;(2)若l1⊥l2,求a的值.思维突破:由C、D两点的横坐标可知l2的斜率一定存在,由A、B两点的横坐标可知l1的斜率可能存在也可能不存在,因此应对a的取值进行讨论.∴a=3.(2)若l1⊥l2,当k2=0时,此时a=0,k1=-1,显然不符合题意;当k2≠0时,l1的斜率存在,此时k1=-1,由于l1⊥l2,∴k1·k2=-1,解得a=-3.解:设直线l2的斜率为k2,则k2=2-a+21--2=-a3,(1)若l1∥l2,则k1=a-43-a-1(a≠4)=-1=k2=-a3,判断两条直线平行(或垂直)并寻求平行(或垂直)的条件时,特别注意结论成立的前提条件.对特殊情形要数形结合作出判断.1-1.试确定m的值,使过点A(m+1,0)和点B(-5,m)的直线与过点C(-4,3)和点D(0,5)的直线平行.解:由题意得:kAB=,m-0-5-m+1=m-6-mkCD=5-30--4=12,由于AB∥CD,即kAB=kCD,所以m-6-m=12,所以m=-2.两条直线垂直的判定例2:已知A(1,-1),B(2,2),C(4,1),求点D,使直线AB⊥CD且直线AD∥BC.y--1y+11-21kAB=2--12-1=3,kCD=1-y,∴3×4-x1-y=-14-x①.又AD∥BC,kAD==x-1x-1,kBC==-,4-22∴y+1x-1=-12②.由①②,则x=-17,y=8,则D(-17,8).解:设D(x,y), AB⊥CD,2-1.已知三点A(m-1,2),B(1,1),C(3,m2-m-1),若AB⊥BC,求m的值.m2-m-1-1m2-m-2则k2==3-13-1,又知xA-xB=m-2,①当m-2=0,即m=2时,k1不存在,此时k2=0,则AB⊥BC;解:设AB、BC的斜率分别为k1、k2,故若AB⊥BC,则m=2或m=-3.②当m-2≠0,即m≠2时,k1=1m-2.由k1k2=m2-m-22·1m-2=-1,得m=-3,断四边形ABCD是否为梯形?如果是梯形,是否是直角梯形?平行和垂直关系的综合应用例3:已知A(0,1),B(2,5),C145,235,D(-1,-3),试判又 直线AB和直线CD不重合,∴AB∥CD.解: 直线AB的斜率kAB=5-12-0=2,直线CD的斜率kCD=235--3145--1=2,∴kAB=kCD.(1)判断一个四边形为梯形,需要两个条件:①有一对相互平行的边;②另有一对不平行的边.(2)判断一个四边形为直角梯形,首先需要判断它是一个梯形,然后证明它有一个角为直角.即直线AD与直线BC不平行.∴四边形ABCD是梯形.∴AB⊥BC.∴梯形ABCD是直角梯形.又 kAB·kBC=-12×2=-1, 直线AD的斜率kAD=-3-1-1-0=4,直线BC的斜率kBC=235-5145-2=-12,∴kAD≠kBC,D(-4,4)四点所得的四边形是...