第2课时平面向量的数量积1．两个向量的夹角(1)定义(2)范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝；a与b反向时，夹角θ＝.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作a⊥b.0°≤θ≤180°0°180°90°2．平面向量数量积的意义(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝.(2)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的．|a|·|b|·cosθ0投影|b|cosθ的乘积4．数量积的运算律(1)交换律a·b＝.(2)分配律(a＋b)·c＝.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝＝．b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)解析：答案：B解析： a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.答案：C解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②答案：D4．(2010·江西卷)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．解析：b在a上的投影是|b|·cos60°＝2×½＝1.答案：15．a＝(－1,1)，b＝(3,4)，则a＋b的模为________，a与b的夹角的余弦值为________．解析：答案：答案：向量的数量积有两种计算方法，一是利用公式a·b＝|a||b|cosθ来计算，二是利用a·b＝x1x2＋y1y2来计算，具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．(1)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，[变式训练]1.(1)(2009·陕西卷)在△ABC中，M是BC的解析：答案：(1)A(2)B1．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a＝1,2，解析：解析：(1) (a－b)·(a＋b)利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a|2＝a2＝a·a；(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(2009·湖北卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；解析：(1)方法一：由已知得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)． －1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|max＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.方法二： |b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.解析：(1)由已知得a·b＝0，1．数量积概念的理解(1)两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定．计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则要通过平移，使两向量符合以上条件．(2)两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不“应该漏掉其中的·”．(3)b在a上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.2．数量积运算律的误区(1)当a≠0时，由a·b＝0不一定推出b＝0，这是因为对任一个与a垂直的向量b，都有a·b＝0.当a≠0时，a·b＝a·c也不一定推出b＝c，因为由a·b＝a·c，得a·(b－c)＝0，即a与(b－c)垂直．也就是向量的数量积运算不满足消去律．(2)对于实数a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量来说，(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等．通过对近三年高考试题的统计分析，在整个命题过程中有以下规律：1．考查热点：平面向量数量积定义的应用．2．考查形式：选择题、填空题和解答题均可能出现．3．考查角度：一是对数量积定义的考查．解题关键是理解数量积的定义的基础．二是对向量的模的考查．此类题目往往通过把模平方，然后转化为求数量积的问题．三是对向量的夹角的考查．要熟练掌握求向量夹角的基本公式．4．命题趋势：平面向量的数量积作为工具，在解决三角函数、解析几何问题中的应用．(12分)(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)，...
