青铜峡五中：代树明6.6关注三角形的外角如图.∠1是△ABC的一个外角,∠1与图中的其它角有什么关系?证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),∠1+∠4=180°(平角的意义),∴∠1=∠2+∠3.(等量代换).∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).ABCD1234能证明你的结论吗?三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.ABCD1234在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.推论可以当作定理使用.三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.△ABC中:∠1=∠2+∠3;∠1>∠2,∠1>∠3.ABCD1234这个结论以后可以直接运用.例1已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,B=C.∠∠求证:ADBC.∥证明:EAC=B+C(∵∠∠∠三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∴ＡＤ∥ＢＣ内错角相等,两直线平行).∠B=C(∠已知),∴∠DAC=C(∠等量代换).ACDBE∵AD平分∠EAC(已知).21∴∠C=EAC(∠等式性质).21∴∠DAC=EAC(∠角平分线的定义).··例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.还有其它方法吗？方法一ACDBE··例1已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,B=C.∠∠求证:ADBC.∥∠B=C(∠已知),21∴∠B=EAC(∠等式性质).∵AD平分∠EAC(已知).21∴∠DAE=EAC(∠角平分线的定义).∴∠DAE=B(∠等量代换).∴ＡＤ∥ＢＣ(同位角相等,两直线平行).这里是运用了公理“同位角相等,两直线平行”得到了证实.证明:EAC=B+C(∵∠∠∠三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),方法二ACDBE·例1已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,B=C.∠∠求证:ADBC.∥∠DAC=C(∠已证),∵∠BAC+B+C=180∠∠0(三角形内角和定理).∴∠BAC+B+DAC=180∠∠0(等量代换).∴ＡＤ∥ＢＣ(同旁内角互补,两直线平行).这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.证明:由证法1可得:·方法三例2已知:如图,在△ABC中,1∠是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:1>2.∠∠证明:1∵∠是△ABC的一个外角(已知),∴∠1>3(∠三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义).∴∠3>2(∠三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴∠1>2(∠不等式的性质).CABF1345ED2已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,A=45°.∠求:B∠和∠ACB的大小.ABCD解:DCA∵∠是△ABC的一个外角(已知),∠DCA=100°(已知),∴∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠DCA+BCA=180°(∠平角意义).∴∠ACB=80°(等式的性质).∠A=45°(已知),已知:如图所示.求证:(1)BDC>A;∠∠(2)BDC=A+B+C.∠∠∠∠证明(1):延长BD与AC相交于E∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角定义),∴∠BDC>CED(∠三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∴∠DEC>A(∠三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∴∠BDC>A(∠不等式的性质).∵∠DEC是△ABE的一个外角(外角定义),BCADE
