3.1.2空间向量的数乘运算(2)VIP免费

3.1.2空间向量的数乘运算（二）2一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作//ab2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使,(0),//abbabab3OABPa若P为A,B中点,则12�OPOAOB向量参数表示式推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式其中向量叫做直线的方向向量.laalOPOAta�l若则A、B、P三点共线。OPOAtAB�()APtAB�或(1)OPxOAyOBxy�若，则A、B、P三点共线。3—1—2共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。51、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与e1,e2有什么关系?如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e22、平面向量基本定理复习：6（1）必要性：如果向量c与向量a，b共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对x，y，使c＝xa＋yb3、共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb证明：（2）充分性：如果c满足关系式c＝xa＋yb，则可选定一点O，作OA＝xa，OB＝AC＝yb，于是OC＝OA＋AC＝xa＋yb＝c，显然OA，OB，OC，都在平面OAB内，故c，a，b共面BACOc7OAabBCPp�思考1:如图,平面为经过已知点A且平行两不共线的非零向量ab、的平面,如何表示平面A上的任一点P呢?⑵∵已知点BC、在平面内且ABa�,ACb�∴点P在平面上是存在唯一有序实数对(,),xy使APxAByAC�②注:①、②、③式都称为平面的向量表示式,即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.8CBAOPQRS9共面向量定理的剖析如果两个向量a，b不共线,★向量c与向量a，b共面存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb★c＝xa＋yb向量c与向量a，b共面(性质)(判定)10证明:⑴充分性∵OPxOAyOBzOC�可变形为(1)OPyzOAyOBzOC�,∴()()OPOAyOBOAzOCOA�∴APyABzAC�∴点P与ABC、、共面.试证明:对于不共线的三点ABC、、和平面ABC外的一点O,空间一点P满足关系式OPxOAyOBzOC�,则点P在平面ABC内的充要条件是1xyz.思考2（课本P88思考）即，P、A、B、C四点共面。11⑵必要性∴存在有序实数对(,)mn使APmABnAC�∵点P在平面ABC内,不共线的三点ABC、、12平面AC（2）平面EGH四点共面G,F,求证：（1）E,,ODOHOCOGOBOFOAOE且O为平面AC外一点，ABCD,例2.已知平行四边形∥13ABCDOEFGH∵四边形ABCD为平行四边形①∴ACABAD（﹡）EGOGOEkOCkOA()kOCOAkAC（﹡）代入()kABAD()kOBOAODOAOFOEOHOE所以E、F、G、H共面。EFEH,ODOHOCOGOBOFOAOE证明：,,,OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD14证明：由面面平行判定定理的推论得：②EFOFOEkOBkOA()kOBOAkAB由①知EGkAC//EGAC//EFAB//EGAC面面ABCDOEFGH151.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：(A)若，则P、A、B共线(B)若，则P是AB的中点(C)若，则P、A、B不共线(D)若，则P、A、B共线OPOAtAB�3OPOAAB�OPOAtAB�OPOAAB�2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为()1()1()0()3()3ABCDOMxOAOBOC11＋＋33�163.下列说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线4.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面17