2.3.2数学归纳法应用举例VIP免费

2.3数学归纳法内容：应用:1、用数学归纳法证明等式数学归纳法的原理:（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;【归纳奠基】（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.【归纳递推】2、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.数学归纳法问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2:完全归纳法不完全归纳法11,11,2,...1nnnnaaaana对于数列已知，猜想其通项公式111a212a1nan313a问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。……：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法通过观看视频，大家一起讨论一下:一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）多米诺骨牌有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？⑴第一块骨牌倒下；⑵任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下☞两个条件的作用：条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题，我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;【归纳奠基】（2）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立.这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法【归纳递推】0nn验证时命题成立01nkknnk若时命题成立证明时命题也成立归纳奠基：归纳递推0nn命题对从开始所有的正整数都成立框图表示6)12)(1(3212222nnnn11(11)(21)162(1)当n=1时，左边=1右边证明：，等式成立222222211231(1)(21)(1)6(1)(21)6(1)6(1)(2)(23)(1)[(1)1][21)1]66nkkkkkkkkkkkkkkkkk那么当时左边（2222(2(1)(21)1236nkkkkk）假设当时成立，即例1.用数学归纳法证明1*即当时等式也成立由（1）和（2）可知等式对任何nN都成立nk1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n＝1时，左边所得项是；当n＝2时，左边所得项是；1+2+31+2+3+4+522111,11nnaaaaan2.用数学归纳法证明nN,a1在验证成立时，左边是（）A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C例2用数学归纳法证明：证明（1）当n=1时，等式左边等式右边所以等式成立.（2）假设n=k（k∈N+）时等式成立，那么当n=k+1时，.)1(4)22(21861641421nnnn,81421,81)11(41,)1(4)22(21641421成立即kkkk]2)1(2)[1(21)22(21861641421kkkk,]1)1[(41)2)(1(4)1()2)(1(41)2()2)(1(41)1(42kkkkkkkkkkkkk即n=k+1时等式成立.由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n2证明:(1)当n=1时左＝1，右＝12＝1∴n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k1)=k2那么，当n=k+1时左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2=右即n=k+1时命题成立由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立递推基础递推依据1．用数学归纳法证明11·2＋12·3＋13·4＋…＋1n(n＋1)＝nn＋1(n∈N*)，从“n＝k到n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是()A.1k(k＋1)B.1k(k＋1)＋1(k＋1)(k＋2)C.1k(k＋2)D.1(k＋1)(k＋2)D2.用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。证明:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1）d=a1,∴当n=1时，结论成立(2)假设当n=k时结论成立，即ak=a1+(k-1)d则当n=k+1时ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d∴当n=k+1时，结论也成立。由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。凑假设结论从n=k到n=k+1有什么变化1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:【归纳奠基】（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正...