一数学归纳法-(2)VIP免费

选修4-5数学归纳法云南省盈江县第一高级中学高二数学组杨树定•情景一：给出第一个盒子里装的部分白色粉笔，猜测盒子里装的全是什么颜色的粉笔？•情景二：如何断定第二个盒子里装的粉笔全是白色的？一、课题引入完全归纳法：考察全部对象得出一般结论的推理方法（结论一定正确）不完全归纳法：考察部分对象作出一般结论的推理方法（结论不一定正确）一、课题引入-1+3=-1+3-5=-1+3-5+7=-1+3-5+7-9=-1+3-5++-(2n-1)=n（1）情景三、计算下面的式子，你能猜想结论对吗？证明你的结论-1+3-5++-(2n-1)n（1）的结果吗?2-34-5如何用有限个步骤，去处理完无限多个对象？今天的学习目标——数学归纳法-nn（1）（）只要保证（1）（2），所有多米诺骨牌就能全部倒下（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。（1）第一块骨牌倒下递推基础（若第k块倒下，则一定导致第k+1块倒下）递推依据传递性二、新课学习1、探究原理：观看多米诺骨牌游戏视频，思考：问题1、游戏中，使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？每个条件的作用是什么？2、类比启发：类比多米诺骨牌游戏的原理，等式（﹡）成立的条件是什么，如何保证这两个条件？由（1）（2）多米诺骨牌全部倒下（1）第一块骨牌倒下。由（1）（2）等式对所有正整数n都成立（1）当n=1时，等式（﹡）成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。（2）若n=k时等式（﹡）成立，则当n=k+1时等式（﹡）也成立。证明假设骨牌骨牌倒下证明等式成立等式下面我们按上述思路证明等式（﹡）n-1+3-5++-(2n-1)=-nn（1）（1）（）（1）验证当n=1时，等式（﹡）成立，即（左边=右边）（2）假设当n=k时等式（﹡）成立，证明当n=k+1时等式（﹡）也成立。由（1）（2）可断定等式（﹡）对所有正整数n都成立00()nnnN（1）证明当取第一个值时命题成立；01（2）假设n=k(kn,kN)时命题成立，证明当n=k时命题也成立奠基假设与递推+0对所有的n(nN,nn)命题成立3、概念生成：数学归纳法三、知识应用4、概念提升2+4+6++例1、数学归纳法证明等式2n=n（n+1），nN+4+6+++2变式1、甲同学猜想22n=nn+1，并用数学归纳法证明如下，请问该同学的结论正确吗？,+4+6+++k+1kN2证明：假设当n=k时，22k=k成立+4+6+++122((1)1kkk22那么当n=k+1时，22k2(k+1)=kk+1)，即n=k+1时等式成立所以等式对所有正整数都成立第一步是递推的基础，缺少了第一步，就会成为无水之源，不要认为第一步是一个简单的验证，可有可无。递推基础不可少！2+4+6++变式2、乙同学用数学归纳法证明等式2n=n（n+1），nN，如下：=2=（1）当n=1时，左边右边，等式成立，1,2+4+6++kN（2）假设当n=k(k)时，2k=k（k+1）成立，(1)2+4+6+++k2+2(k+1)那么，当n=k+1时，2k2(k+1)=221=2k（k+2）（）=（k+1）(k+2)即n=k+1时等式成立，由（1）（2）即命题对所有正整数都成立这位同学的证明正确吗?说明理由第二步证明n=k+1时，一定要用到n=k时这一归纳假设，否则不是数学归纳法证明，推理无效。归纳假设要用到。练习、用数学归纳法证明2222(1)(21)1236nnnnnN，解题目标要明确，找到已知（n=k）和未知(n=k+1)的联系是关键；结论写明莫忘掉四、课堂小结1、方法：数学归纳法应用：格式：1步骤：递推基础不可少2步骤：归纳假设要用到，解题目标要明确结论：结论写明莫忘掉核心：2、思想:类比思想递推思想：证明与正整数n有关的命题递推思想命题从第一个值开始从前往后自动递推，实现有限到无限的飞跃（完全归纳法）五、作业布置教材第50页习题4.11-5•谢谢！