一、分类讨论：分类讨论复杂影响定义域，导是否有根，最高次项系数（开口方向）例1.（大兴19）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间.(13分)解：（Ⅰ）当时，.因为，所以.因为，所以函数在点处的切线方程为.……6分（Ⅱ）（1）当时，.因为，当时，.所以函数的单调减区间为，无单调增区间.（2）当时,的定义域为.当时，,所以函数的单调减区间为，无单调增区间.（3）当时，.①当时，若，则，若，则，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为.②当时，，为常数函数，无单调区间.③当时，若，则，若，则，所以函数的单调减区间为，函数的单调增区间为.综上所述，当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；当时，①当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为；②当时，，为常数函数，无单调区间；③当时，函数的单调减区间为，函数的单调增区间为………13根与定义域，最值处需要比较例2.（2012年北京理科）已知函数，．(Ⅰ)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；(Ⅱ)当时，求函数的单调区间，并求其在区间（-∞，上的最大值解：（1）由1c，为公共切点可得：2()1(0)fxaxa，则()2fxax，12ka，3()gxxbx，则2()=3fxxb，23kb，23ab①又(1)1fa，(1)1gb，11ab，即ab，代入①式可得：33ab．（2）24ab，设3221()()()14hxfxgxxaxax则221()324hxxaxa，令()0hx，解得：12ax，26ax；0a，26aa，原函数在2a，单调递增，在26aa，单调递减，在6a，上单调递增①若12a≤，即2a≤时，最大值为2(1)4aha；②若126aa，即26a时，最大值为12ah③若16a≥时，即6a≥时，最大值为12ah．综上所述：当02a，时，最大值为2(1)4aha；当2,a时，最大值为12ah．二、恒成立问题例3（2014海淀一模）已知函数.(Ⅰ)求的单调区间；(Ⅱ)当时，求证：恒成立.(Ⅰ)定义域为------------------------------------1分------------------------------------2分令，得------------------------------------3分与的情况如下：0↘极小值↗--------------------------------5分所以的单调减区间为，单调增区间为--------------------------6分(Ⅱ)分离参数，证明1：设，------------------------------------7分-------------------------------8分与的情况如下：10↘极小值↗所以，即在时恒成立，----------------------10分所以，当时，，所以，即，X|k|B|1.c|O|m所以，当时，有.------------------------13分证明2：直接作差构造新函数令----------------------------------7分-----------------------------------8分令，得-----------------------------------9分与的情况如下：0↘极小值↗---------------------10分的最小值为-------------------11分当时，，所以故-----------------------------12分即当时，.------------------------------------13分例4.（2015海淀期末文科20题）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）问集合（且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）（Ⅰ）解：.………………1分因为切线过原点，所以.………………3分解得：.………………4分（Ⅱ）分离变量证明：设，则.令，解得.………………6分在上变化时，的变化情况如下表-+↘↗所以当时，取得最小值.………………8分所以当时，，即.………………9分另解：还可以转化为，二次求导。（Ⅲ）分离参数数形结合解：当时，集合的元素个数为0；当时，集合的元素个数为1；当时，集合的元素个数为2；当时，集合的元素个数为3.………………13分6.(2013北京理)设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.(I)求l的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方（答案在考试说明上）解：(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以L的方程为y＝x－1.(2...
