三点共线经典题型2VIP专享VIP免费

1/6三点共线经典题型（更新）例1如图△ABC，D是△ABC内的一点，延长BA至点E，延长DC至点F，使得AE=CF，G，H，M分别为BD，AC，EF的中点，如果G，H，M三点共线，求证：AB=CD．分析由三角形的中位线得，MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF由已知得HS=SM，从而得出∠SHM=∠SMH，则得出∠TGH=∠THG，GT=TH，最后不难看出AB=CD．解答：证明：取BC中点T，AF的中点S，连接GT，HT，HS，SM， GHM分别为BD，AC，EF的中点，∴MS∥AE，MS=0.5AE，HS∥CF，HS=0.5CF GT∥CD，HT∥AB，GT=0.5CD，HT=0.5AB，∴GT∥HS，HT∥SM∴∠SHM=∠TGH，∠SMH=∠THG，2/6∴∠TGH=∠THG，∴GT=TH，∴AB=CD．例2如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．分析求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证解答连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴PA/AM=AC/MC,AC/AM=QC/MC∴AC2=PA?QC，又AC=AD=DC．∴PA/DC=AD/QC，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．3/6∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等．例3如图，△ABC内接于圆⊙，点D是圆⊙上异于A、B、C三点的任意一点，过D点作DP⊥AB，DQ⊥BC，DR⊥AC，交AB、BC、AC分别为P，Q，R．（1）求证：∠BDP=∠CDR；（2）求证：P，Q，R三点共线．分析（1）由已知中四边形ABDC为圆内接四边形，根据圆内接四边形性质，我们易得∠DBP=∠DCP，结合已知中DP⊥AB，DR⊥AC，根据等角的余角相等，即可得到答案．（2）由已知中DP⊥AB，DQ⊥BC，可判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，同理可得∠RQC=∠RDC，结合（1）中结论，我们易证明∠PQD+∠RQD=180°，进而得到P、Q、R三点共线．证明：（1）由已知可得四边形ABDC为圆内接四边形则∠DBP=∠DCP又 DP⊥AB，DR⊥AC，∴∠BDP=90°-∠DBP，∠CDR=90°-∠DCP；∴∠BDP=∠CDR；4/6（2） DP⊥AB，DQ⊥BC，∴P、D、Q、B四点共圆∴∠PQD=∠PBD同理可得∠RQC=∠RDC ∠PBD+∠RDC=90°∴∠PQD+∠RQD=90°+∠CQD=180°故P、Q、R三点共线本题考查的知识点是圆内接四边形的判定与性质，其中根据已知条件判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，并同理得到∠RQC=∠RDC，是证明三点共线的关键．例4已知四边形ABCD是矩形，M、N分别是AD、BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，CP=BQ，PM与QN的交点为R．求证：R，A，C三点共线．分析延长RN交DC于T，连接RC交MN于O，易证PN=NT，PC=CT，进而根据O是MN的中点所以R，C，O三点共线、A，O，C三点共线，可以证明R，A，C三点共线．证明：延长RN交DC于T，连接RC交MN于O， ∠BNQ=∠CNT，BN=CN，∠NBQ=∠NCT，∴△BNQ≌△CNT（ASA），∴CT=BQ=CP，∴PN=NT，PC=CT， MN∥CD，∴MO=ON∴O是MN的中点所以R，C，O三点共线，又A，O，C三点共线，所以R，A，C三点共线本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，矩形各内角为直角的性质，本题中求证R，C，O三点共线是解题的关键．例5如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：D，E，F三点共线．5/6分析根据AE平分∠BAC，M为弦BC的中点，可证A、E、M三点共线，根据已知证明EG∥OA，DG∥OA，可证D、E、G三点共线，而F在EG上，故可证D、E、F三点共线．证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交⊙O于M，则OD⊥BC，弦BC=弦CM∴A、E、M三点共线，又AE、AF是∠A及其外角平分线，∴AE⊥AF， HE⊥AE，HF⊥AF，∴四边形AEHF为平行四边形，∴AH与EF互相平分，设其交点为G，于是，AG=0.5AH=0.5EF=EG OA=OM，OD∥AH，∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE，∴EG∥OA①又O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC，∴OD=0.5AH=AG，∴四边形AO...