第三章导数及其应用人教A版数学3．3导数在研究函数中的应用第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学1．知识与技能结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系．2．过程与方法能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性．本节难点：函数的导数与单调性的关系．1．用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的．2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)≥0，则f(x)在此区间是的；(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)≤0，则f(x)在此区间内是的．2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为；如果函数当自变量x在某区间上，总有f′(x)＜0，则f(x)在这个区间为．单调递增单调递减严格增函数严格减函数第三章导数及其应用人教A版数学第三章导数及其应用人教A版数学(2)f(x)＝x＋bx(b＞0)[例1]求下列函数的单调区间(1)f(x)＝x3－3x＋1[解析](1)函数f(x)的定义域为Rf′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)第三章导数及其应用人教A版数学(2)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)f′(x)＝(x＋bx)′＝1－bx2令f′(x)＞0，则1x2(x＋b)(x－b)＞0∴x＞b，或x＜－b.∴函数的单调递增区间为(－∞，－b)和(b，＋∞)．令f′(x)＜0，则1x2(x＋b)(x－b)＜0∴－b＜x＜b，且x≠0.∴函数的单调递减区间为(－b，0)和(0，b)第三章导数及其应用人教A版数学[点评]求函数的单调区间必须在函数的定义域内，依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性．另外，单调区间不可写成并集的形式．第三章导数及其应用人教A版数学[例2]已知x＞1，求证x＞lnx.[解析]设f(x)＝x－lnx(x＞1)∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数．又f(1)＝1－ln1＝1＞0即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立∴x－lnx＞0，即x＞lnx(x＞1)．f′(x)＝1－1x＝x－1x x＞1∴f′(x)＝x－1x＞0恒成立第三章导数及其应用人教A版数学[点评]构造函数是解本题的突破口，构造函数，利用导数确定函数单调性，这种不等式证明方法经常使用，它是作差法的一个延伸．第三章导数及其应用人教A版数学[例3]若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的范围．[解析]解法一：(区间法)f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．第三章导数及其应用人教A版数学当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.解法二：(数形结合)如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．第三章导数及其应用人教A版数学解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2
