数学建模第02章-简单的优化模型VIP专享VIP免费

第二章简单的优化模型简单的优化模型是指无约束条件的极值问题，可归结为微积分中的函数极值问题，直接用微分法求解。1最优价格2森林救火一最优价格问题根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大假设1）产量等于销量，记作x2）收入与销量x成正比，系数p即价格3）支出与产量x成正比，系数q即成本4）销量x依赖于价格p,x(p)是减函数建模与求解pxpI)(收入qxpC)(支出)()()(pCpIpU利润进一步设0,,)(babpapx求p使U(p)最大0*ppdpdU使利润U(p)最大的最优价格p*满足**ppppdpdCdpdI最大利润在边际收入等于边际支出时达到pxpI)(qxpC)(bpapx)())((bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22*建模与求解边际收入边际支出结果解释baqp22*0,,)(babpapx•q/2~成本的一半•b~价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）•a~绝对需求(p很小时的需求)bp*ap*思考：如何得到参数a,b?二森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).•损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.•救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小•关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费)1）0tt1,dB/dt与t成正比，系数(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立dtdBb0t1tt2x假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目标函数——总费用)()()(21xfxfxC假设3）4）xttt112假设2）)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小231221122ctctcx结果解释•/是火势不继续蔓延的最少队员数dtdBb0t1t2tx其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c2xc1,t1,xc3,x结果解释231221122ctctcxc1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?,可设置一系列数值由模型决定队员数量x