课时作业19三角函数的图象与性质1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(A)A．①②③B．①③④C．②④D．①③解析：①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；③y＝cos的最小正周期T＝＝π；④y＝tan的最小正周期T＝.2．关于函数y＝tan，下列说法正确的是(C)A．是奇函数B．在区间上单调递减C．为其图象的一个对称中心D．最小正周期为π解析：函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误． 当x＝时，tan＝0，∴为其图象的一个对称中心．3．(2019·石家庄检测)若是函数f(x)＝sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(C)A．2B．4C．6D．8解析：因为f(x)＝sinωx＋cosωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.4．(2019·佛山模拟)已知x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的一个单调递减区间是(B)A．B．C．D．解析：因为x0＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值点，所以sin＝1，解得φ＝2kπ－，k∈Z.不妨取φ＝－，此时f(x)＝sin，令2kπ＋＜2x－＜2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋＜x＜kπ＋π(k∈Z)．取k＝0，得函数f(x)的一个单调递减区间为.5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(B)A．B．C．D．解析：函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sinφ＝，∴sinφ＝，又|φ|＜，∴φ＝，则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．6．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝例如1*2=1，则函数f(x)＝2sinx*cosx值域为()A．B．[－1,1]C．D．解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sinx≥cosx，f(x)＝cosx，f(x)∈，当0≤x＜或＜x≤2π时，cosx＞sinx，f(x)＝sinx，f(x)∈∪[－1,0]．综上知f(x)的值域为.7．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)＞1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(B)A．B．C．D．解析：由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3. f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1. f(x)＞1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1＞1，即cos(3x＋φ)＞0，对任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|＜可得当k＝0时，φ的取值范围为.8．(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos(0＜φ＜π)是奇函数，则φ＝.解析：因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，故φ＝.9．已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是[2,3)．解析：sin＝在上存在两个根，设x＋＝t，则t∈，∴y＝sint，t∈的图象与直线y＝有两个交点，∴≤＜1，∴2≤a＜3.10．设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为2.解析：f(x)＝3sin的周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2.11．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f＝，求cos的值．解：(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….由－≤φ＜得k＝0，所以φ＝－＝－.(2)由(1)得f＝sin＝，所以sin＝.由＜α＜得0＜α－＜，所以cos＝＝＝.因此cos＝sinα＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.12．已知f(x)＝sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.(2...
